基于數據驅動的線性聚類ARIMA長期電力負荷預測

李 震,張 思,任嫻婷,黃遠平

(1.國網浙江省電力有限公司衢州供電公司，衢州 324000；2.國網浙江省電力公司，杭州 310007)

城市長期電力負荷預測對電力供電決策建議，保障電力系統安全穩定的運行，提高電力的使用分配效率以及電力報價，電網規劃等方面都產生著至關重要的作用[1]。但是，由于多種原因，當一個城市進入城鎮化階段后期后，電力負荷趨勢會從快速增長階段向飽和階段和波動階段轉變，削弱了其規律性，使得以每年電力系統負荷數據為基礎的預測方法逐漸無法有效預測過渡轉變時期的負荷趨勢[2]。

近年來，電力系統長期負荷預測出現了兩種研究趨勢。其中一種研究趨勢是復合模型逐漸成為主流，文獻[3]中構建了一種半參數模型來研究中長期預測中的不確定性，并估計未來負荷的概率分布。在文獻[4-5]中分別提出了通過蟻獅優化算法優化的灰色模型和通過改進粒子群算法優化的回歸模型。復合模型結合了不同單一模型的優點，可以更好地描述負荷模式的變化，從而提高預測精度。但是上述文獻的預測方法在針對城鎮化過程中的電力負荷波動會產生較大的隨機誤差。

長期電力負荷預測的另一個研究趨勢是“大數據”這一概念受到越來越多人的關注，特別是聚類方法在負荷預測中得到了廣泛的應用，尤其是在大數據分析中。文獻[6]采用分層聚類方法將相似的負荷曲線作為一個聚類集群，然后分別預測每個集群的未來負荷。文獻[7-8]利用了譜聚類算法和函數型聚類法為負荷預測做準備。上述文章利用大數據的優勢，有效地減少了長期電力負荷預測的隨機誤差，但是上述方法建模誤差較大，且模型的魯棒性、穩定性較差。

為同時降低長期電力負荷預測的隨機誤差與建模誤差，在大數據的基礎上，提出了一種數據驅動線性聚類的ARIMA長期電力負荷預測方法。

1 數據驅動的線性聚類方法

設yt(t=1,2,…,T)是電力系統負荷的時間序列，yt由子序列yk,t(k=1,2,…,N)組成，其中N為子序列個數，T為時間樣本個數，通常以年為間隔。yk,t可以是變電站負荷序列，也可以是區域負荷序列，諸如此類的序列。存在如下關系：

(1)

所提出的線性聚類預處理方法是為了平滑多個變電站或區域負荷序列，從而提高建模精度。這里的線性聚類是指聚類標準。傳統的聚類方法通常根據相似度進行分類，一個更好的線性特性意味著更顯著的規律性，從而能夠提升建模精度，因此提出根據負荷序列變化的線性程度將子序列進行聚類，使得類中的所有子序列與數據集中所有子序列相比具有更好的線性特性。

因此，相應的線性聚類方法可以轉為一個尋找全局最佳線性的最優聚類優化問題，可以用式(2)表示：

(2)

(3)

式(3)中：x是一個n維向量x=(x1,x2,…,xn)，同時為了解決這個問題，進行了如下迭代計算。

步驟1對每個子序列構yk,t構造最小二乘線法性擬合模型，計算線性擬合殘差對應的RMS值，記為uk(k=1,2,…,N)，作為每個原始子序列的線性衡量標準。

步驟2從步驟1中找到子序列中的最大RMS值ukmax，并將其標記為ykmax,t。而ykmax,t是波動最明顯的子序列，通常也是最難構建準確模型的子序列。因此，ykmax,t是本次迭代的主要優化目標。

步驟3對總序列Yj,t=ykmax,t+yj,t(j=1,2,…,N,j≠k)構造新的線性擬合模型，并計算相應的擬合殘差的RMS值，標記為Uj。這一步是看看是否有其他子序列可以與ykmax,t求和，從而改善線性擬合結果。

步驟4從步驟3中找出Uj的最小值，并將其標記為Ujmin。如果：

Ujmin

(4)

這就意味著存在一個子序列yjmin,t可以用ykmax,t求和來提高線性擬合結果。在這種情況下，把yjmin,t和ykmax,t替換成它們的和Yjmin,t，然后重復步驟1。當Ujmin≥ukmax時，就可以結束迭代，因為這表明子序列不能通過求和進一步平滑。在上述描述中，聚類準則如式(4)所示，記為“準則1”。

經過這種線性聚類預處理后，子序列的平滑度得到了提高，而子序列的數目卻減少了，這為后續子序列的建模和預測創造了更好的條件。

2 最優ARIMA建模與預測

Box和Jenkins在20世紀70年代提出了ARIMA模型，它能夠很好地描述和預測時間序列[9]。因此，用它來預測每個集群的總負荷，并分析負荷預測誤差。ARIMA (p,d,q)模型可以表示為

yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+

εt-θ1εt-1-θ2εt-2-…-θqεt-q

(5)

式(5)中：εt為白噪聲；φ、θ是系數。可以看到ARIMA模型包含兩個部分。

自回歸模型部分：

yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+εt

(6)

移動平均模型部分

yt=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-…-θqεt-q

(7)

自回歸模型部分體現的是電力系統過去時刻的特性，而移動平均模型部分則反映了干擾對當前系統狀態的影響。p和q是這兩部分對應的順序。因為ARIMA模型只適用于平穩時間序列，如果不是平穩時間序列，則需進行差分預處理，d為差分階。

進一步為Si,t(i=1,2,…,M)構建最優的ARIMA模型，并分別預測它們未來負荷的值并相加，求得到最終的電力系統負荷預測。算法步驟如下，流程圖如圖1所示。

圖1 預測算法流程圖Fig.1 Flow chart of prediction algorithm

步驟1首利用單位根檢驗[10]，判斷預處理后的序列Si,t是否穩定。任何非平穩序列都將通過差分計算轉化為平穩序列。

步驟2為每個平穩序列構造ARIMA (p,d,q) 乘積模型，與參數p和q的組合不同。由于序列長度有限，將p和q限制在一個相對較低的階數，以避免過擬合[11]，令p=0,1,2;q=0,1。

步驟3在步驟2構建的所有ARIMA模型中，利用赤池信息量準則AIC找到每個平穩序列的最優模型。這是一個衡量建模效果的標準，因為它既考慮了擬合精度又所建模型[12]的復雜性：

AIC=2n+Tln(fRSS/T)

(8)

式(8)中：n為構建模型的參數個數；T是序列的長度；fRSS是殘差平方和，反映了建模精度。一般來說，具有最小的AIC值的模型為最優模型，因此為Si,t的最優ARIMA模型數學表達式如下：

(9)

步驟4根據步驟3中選擇的相應的最優ARIMA模型，預測每個預處理序列Si,t的未來值。預測結果用Si,t+τ,τ=1,2,…,ΔT表示；其中ΔT為預測周期。但是要注意的是，因為ARIMA模型的限制，ΔT不能太大。

步驟5將所有ARIMA預測結果進行匯總，得到最終的電力系統負荷預測結果：

(10)

3 預測模型的建立

在電力系統負荷預測過程中，預測誤差主要由兩部分組成：建模誤差和隨機誤差[13]。建模誤差是指建模的擬合值與真實值的差值。通常來說，負荷曲線越平滑，建模誤差越小，這樣所構建的模型能更好地擬合負荷變化規律。隨機誤差是指由一些隨機的、不可預測的因素改變原有負荷變化規律而引起的預測誤差。因此，為了提高預測精度，既要提高建模精度，又要盡量減小隨機誤差。因此，首先從理論上分析基于ARIMA模型的不同預處理方法的預測誤差。為了簡單起見，提前做了兩個假設：

(1)由于ARIMA模型預測結果主要依賴于自回歸模型方法部分，假設電力系統負荷的時間序列遵循式(6)中自回歸模型的第一項，即：

yt=φ1yt-1+εt,yk,t=φk,1yk,t-1+εk,t

(11)

(2)假定在電力系統負荷的時間序列中的白噪聲為高斯白噪聲，其標準差與負荷水平成正比：

(12)

式(12)中：σ>0為比例系數。

則預測總誤差可表示為

(13)

設時間序列yt的ARIMA建模結果為

(14)

(15)

由式(11)可得，φ1的實際值為

(16)

因此φ1的參數估算誤差為

(17)

式中：Δφ1為建模誤差的來源，其與εt成正比，與負荷水平yt成反比。如果直接對電力系統負荷進行建模和預測，將會產生較小的建模誤差，這是因為電力系統負荷曲線的平滑性，使得負荷水平yt較高，噪聲εt的標準差較低。另一方面，如果對系統負荷的子序列進行建模和預測，并將其進行求和，得到電力系統負荷預測結果，每個子序列的建模誤差將更大。提出的DLC方法建立了一個基于平滑序列的預測模型，在一定程度上保證了模型的精度，從理論上來說，不如直接法但比數據驅動法要好。

預測結果的模型誤差可由以式(18)估算：

(18)

(19)

因為σ>0,yk,t>0，而對于不同的k,yk,t并不都相等，則有:

(20)

式(20)為數據驅動法的理論基礎：高斯白噪聲的方差比直接法計算的小。這樣，可以縮小預測的隨機誤差，并且可以通過數據驅動方法獲得更穩定的電力系統負荷預測結果。而這正是使用大量變電站負荷數據的意義所在。同樣，數據驅動線性聚類方法也利用了大數據集的優勢，使其隨機預測誤差小于直接法。

預測誤差可由式(21)得到：

(21)

根據式(13)，隨機預測誤差可以表示為

(22)

4 應用結果

利用上海市的年度電力負荷數據去驗證提出方法的有效性。2005—2018年的電力負荷如圖2所示。電力系統負荷包含72個220 kV (N=83)變的變電站測得的數據，每一個變電站的年度負荷曲線如圖3所示。

圖2 上海市電力負荷曲線Fig.2 Electric power load curve in Shanghai

圖3 上海市各個變電站負荷曲線Fig.3 Load curves of substations in Shanghai

根據上述數據，利用2005—2015年的負荷數據建模，對2016—2018年的負荷數據進行預測從而驗證該方法的有效性。為便于比較，采用以下四種不同的預測方案。

(1)直接法：對圖2中的電力系統負荷數據直接建立最優ARIMA模型，預測電力系統負荷峰值。利用最優ARIMA模型直接預測電力系統負荷。模型的擬合與預測結果如圖4所示。

圖4 直接法電力負荷預測Fig.4 Direct power load forecasting

根據誤差的計算公式可知直接法的建模誤差為2.18%，平均預測誤差為10.02%，隨機誤差為7.84%。從圖4可以看出，上海的電力系統年負荷曲線相對較平滑，有利于建模，建模精度較高。然而，預測結果并不理想。這主要是由于負荷增長的變化模式造成的。上海市的城市化水平較高，正處于產業結構調整，淘汰落后產能，加速發展第三產業的階段。與此同時，上海市的人口正在趨于飽和。在這種情況下，負荷增長模式發生了變化，這就會導致直接法的隨機誤差較大。

(2)數據驅動法：對圖3中的每個原始子序列建立最優ARIMA模型，對每個子序列進行預測，然后將所有預測結果進行匯總，得到電力系統負荷預測結果。相應的預測結果如圖5、圖6所示。

圖5 各變電站預測結果Fig.5 Prediction result of substations

圖6 數據驅動預測結果Fig.6 Data-driven prediction results

通過計算可知圖5中建模和預測的平均誤差分別為20.32%、26.46%，平均隨機誤差為6.13%。建模誤差的顯著增加是由于變電站的低負荷和高波動造成的。將圖5中的建模和預測結果進行匯總后，可以得到圖6中的電力系統預測結果，電力系統建模和預測誤差分別為2.35%、3.65%，隨機誤差為1.30%。可以看出，與直接法相比，隨機誤差有效地從7.84減小到1.30%，從而減小了預測誤差。但另一方面，建模誤差為2.35%，成為預測誤差的主要組成部分。

(3)經典方法構建了經典的滾動GM(1,1)模型、彈性系數模型和回歸模型，然后直接預測電力系統負荷[14-16]。建模和預測結果如圖7所示。

圖7 經典方法預測對比Fig.7 Prediction comparison of classical method

結果表明，三種經典模型均具有較好的建模精度，分別為5.97%、3.51%和1.22%,但它們有一個共同的難題，就是難以把握預測區域的負荷變化規律，即隨機誤差過大，導致最后的預測誤差分別為11.25%、4.76%和9.43%。

(4)DLC方法：基于圖3中的子序列數據，為了改進數據驅動方法的建模精度，利用所提出的線性聚類方法對變電站負荷數據進行預處理。

從圖8可以看出，經過線性聚類方法得到的預處理數據比圖3中的原始數據要更為平滑，更加適合時間序列建模。根據計算平均建模誤差降低到了10.71%。此外，子序列的數量從72減少到了30,因此減少了計算量。更重要的是，變電站負荷集群預測結果更加穩定，平均預測誤差降低到18.54%，隨機誤差為7.76%。

將圖8中的建模和預測結果進行匯總，得到圖9中的電力系統預測結果，系統建模誤差為1.40%，預測誤差為2.67%，隨機誤差為1.27%。證明所提出的預測算法在保證建模精度的同時，也能夠降低隨機誤差。

圖8 準則1DLC預處理子序列Fig.8 DLC pre-processing sub-sequence based on rule 1

圖9 準則1電力負荷預測結果Fig.9 Power load forecasting result based on rule 1

在提出的線性聚類預處理方法中，聚類準則至關重要。不同的聚類準則會導致不同的聚類結果，從而導致不同的建模和預測效果。考慮將“準則1”放寬標準至式(23)，表示“準則2”：

(23)

可以看出，在放寬聚類標準后，子序列的數量進一步減少到21個(M=21)，且每個子序列都更加平滑。平均建模誤差為7.64%，預測誤差為14.96%，隨機誤差為7.32%。將它們匯總得到電力負荷預測結果如圖11所示，建模誤差為1.34%，預測誤差為3.47%，隨機誤差為2.13%。

通常來說，放寬聚類標準會使負荷曲線更加平滑，集群數量會越少，有利于建模精度，但不利于減小隨機誤差。而嚴格的標準結果恰恰相反。因此，理想的聚類準則應該是在集群數與負荷曲線平滑度之間做出適當的折中，從而優化預測精度。為了得到這樣一個最優準則，需要考慮負荷的特性，并對不同準則下的聚類結果進行分析比較。上述預測結果如表1所示。

圖10 準則2的DLC預處理子序列Fig.10 DLC pre-processing sub-sequence based on rule 2

圖11 準則2電力負荷預測結果Fig.11 Power load forecasting results based on rule 2

表1 預測結果對比Table 1 Comparison of predicted results

表1的結果對比驗證了所提出的數據驅動線性聚類ARIMA預測方法能夠降低隨機誤差。其次，該方法可以提供與直接法幾乎相同的建模精度，從而大幅度地提高了預測精度。

為了證明所提出的DLC方法的普適性，收集了四個不同城市的變電站負荷數據，如圖12所示。要注意的是，這四個城市處于不同的城市化階段。圖13表明了各城市分別采用了兩種聚類準則的DLC方法的建模和預測結果，預測誤差如表2所示。表2所示的四個不同城市的電力負荷預測結果均能夠保證較好的預測精度，證明了數據驅動線性聚類ARIMA方法的具備較好的魯棒性以及穩定性。

圖12 變電站負荷數據Fig.12 Substation load data

圖13 各城市電力負荷預測結果Fig.13 Power load forecasting in each cities

表2 各城市的預測誤差對比Table 2 Comparison of prediction errors in each cities

最后，在提出的DLC方法的基礎上，以準則1為例，對上海市2019—2022年的電力負荷進行預測，預測結果如表3所示。圖14顯示了上海市每個集群的負荷增長和ARIMA預測結果以及總體負荷的增長。

表3 上海市預測結果Table 3 Forecast results in Shanghai

圖14 上海市子序列預測結果及電力負荷預測結果Fig.14 Prediction results and electric power load forecast result in Shanghai

5 結論

針對城市因負荷波動而引起的電力系統長期負荷預測難題，提出了一種基于數據驅動的線性聚類ARIMA方法，通過理論分析與數據驗證得出如下結論。

(1)基于數據驅動的線性聚類ARIMA方法能夠在保證較低模型誤差的條件下降低長期電力負荷波動造成的隨機誤差，從而大大提升了長期電力負荷預測的精度。

(2)所提出的數據驅動線性聚類ARIMA方法對四個不同發展階段城市的電力負荷預測結果表明該方法具有較好的適應性與穩定性。

(3)基于數據驅動線性聚類ARIMA方法預測精度與聚類準則的選取有較大關系。