基于分數階微分模擬模型的油田措施增產預測

肖 武,韓 丹,劉志斌,陳 琳,馬南南

(1.中石化股份公司勝利油田分公司勘探開發研究院，東營 257000；2.中國石油冀東油田分公司陸上油田作業區，唐山 063004；3.西南石油大學理學院，成都 610500)

石油是國家的戰略能源，中國油藏地質構造復雜。油藏類型多樣，如淺層天然水驅油藏、中、深層注水開發油藏、深層低滲透油藏、溶解氣驅油藏、潛山碳酸鹽巖等。當油田開發達到一定階段時，為了增加產量必須實施增產措施，不同類型油田所需的增產措施不同[1]。常見的措施有二氧化碳吞吐、壓裂、酸壓、解堵、反抽等，每種措施的增產效果受多種因素的影響[2-3]。增產措施效果直接影響油田的經濟效益，較準確地預測措施增加產量可以對油井準確實施合適的增產措施，從而使油田的效益最大化[4-5]，所以措施增產預測對油田的高效開發具有重要的意義。

多因素灰色預測模型被Deng[6]提出后就一直被改進。一些學者改進了單變量線性灰色模型，Wang等[7]提出了一種改進的灰色預測模型PRGM(1,1)，集成了粒子群優化算法和數據指數預處理方法從而擴展了預測模型的適用性。Wei等[8]將背景系數引入灰色多項式模型，提出了多項式階數選擇、背景系數搜索和參數估計的算法框架，推導了累加序列仿射變換與參數估計之間的定量關系。Wang等[9]建立了灰色Verhulst模型，為了避免在建模理論中代入微分方程的差分方程產生的誤差，推導了非等間隙模型，并將微分模型應用于研究CO2排放與經濟增長的關聯關系。Ayvaz等[10]為了準確預測電量消耗提出了非齊次離散微分模型并驗證了模型的有效性。隨著發展單變量非線性灰色模型也得到了改進。Wang等[11]為了準確預測中國具有非線性小樣本特征的高科技企業的主要經濟指標，提出了一種優化非線性灰色伯努利模型求解最優參數最終建立了優化模型。Wu等[12]提出了一種將灰色累積生成技術與Holt-Wins方法相結合的空氣質量指數預測模型，提高了空氣質量指標預測精度。Wang等[13]采用非線性最小二乘法建立了灰色Bass模型并給出了微分方程的白化解，解決了新產品擴散預測問題。Wu等[14]提出了一種基于灰色關聯分析的最小二乘支持向量機模型，并設計了加權自適應二階粒子群優化算法對模型參數進行優化，將模型成功應用到天然氣消耗預測中。Ren等[15]提出了一種非等間距非齊次指數微分模型并成功應用于循環荷載作用下的累積塑性變形預測。Cui等[16]為了提高微分預測模型的預測精度，提出了一種新的灰色預測模型及其優化模型，建立了用最小二乘法求解新模型參數的計算公式，并利用微分方程進行推導，得到了微分模型的時間響應序列。但是預測指標往往受多種因素影響，所以一些學者對多變量非線性灰色模型進行改進。Zeng等[17]發現了傳統多變量微分模型中建模機制、參數估計和模型結構是造成模型精度低下的三大主要原因，在傳統模型基礎上引入線性修正項和灰色作用量項來改進模型的性能，新模型具有更合理的建模過程和更穩定的結構，解決了傳統模型的三個缺陷。Zeng等[18]提出了一種新多變量的基于動態背景值系數的微分模型，利用粒子群優化算法對動態背景值系數進行優化，推導出新模型的時間響應函數和最終恢復表達式，并用高斯函數對模型進行了證明和簡化。Deng等[19]提出了一種信息單元的數值映射算法，將生物分子序列的基礎轉化為數學建模的數字序列。在此基礎上，利用多元微分模型分析了小尺度碎片能量的動態變化趨勢，了解了遺傳信息的存在。Li等[20]建立了灰色關聯分析與微分模擬聯合模型，研究了區域協調發展系統中人口、資源、經濟和環境系統之間的相互協調關系。Hsu[21]研究了多因素微分模擬模型，并將模型應用研究了臺灣獨立銀行的破產概率與宏觀經濟的關聯關系。Tien[22]指出了傳統多因素微分模型利用一階累加生成序列計算存在的問題，并提出了通過卷積積分或用初等函數擬合模型項來建立正確的模型。

當預測指標受多因素影響時，多種因素的時間序列變化規律就決定了預測指標的變化趨勢，一階累加生成個算子(1-AGO)一般用于灰色預測模型中的初始數據處理，此種處理方式是將新舊時間序列數據的影響程度同等對待，但是不同時期的影響因素數據可能對預測指標的影響程度不同，為了權衡影響因素新舊數據對預測指標的影響程度分數階累加生成算子被提出。Mao等[23]提出了一種擴展的單因素分數階灰色預測模型，Yang等[24]通過利用傅里葉級數表示殘余項從而改進了分數階灰色預測模型的預測性能，其他學者也改進了分數階灰色預測模型[25-28]。

灰色預測模型參數的確定一般采用最小二乘法[29-31]，但是否是誤差平方和越小對應著指標預測誤差也就越小。誤差平方和中誤差項越大所起到的作用越大，而誤差項越小所起到的作用越小。當存在異常值時，模型與整體定律的偏差明顯。當系數較大時，數據與全律的變化隨數據值的增大而增大，所以進一步優化模型的參數是必要的。

基于調研研究發現參數優化下的多因素分數階微分模擬預測模型研究較少，提出一種基于參數優化的多因素分數階微分模擬預測模型，旨在建立一種多因素下措施增產預測模型，以便為措施的評價與措施優化提供研究基礎。首先建立多因素分數階微分模擬系統模型，并給出模型參數求解方法和參數與分數階優化的方法；綜合考慮油田實際的措施增產監測數據、數據統計的可行性及數據參數變化規律，確定影響二氧化碳吞吐措施與壓裂措施增產的主要影響因素，并將建立的微分模擬進行措施增產預測，利用部分措施增產數據進行模型參數訓練，利用其余增產數據驗證模型的預測情況，通過評價模型計算結果證明微分模擬模型預測的有效性。

1 模型建立與參數優化

1.1 模型建立

定義：X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(m)}為原始序列，m為變量的個數。X(r)={x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(m)} (r∈R+)為X(0)的r階累加序列(r-AGO)，r為階數。其中:

k=1,2,…,m

(1)

(2)

(3)

式中：a、bi、u為參數，將式(3)代入式(2)中，令t=k,可以得到：

(4)

式(4)中：α1、αi、β為參數分別為

(5)

(6)

其中:

(7)

多因素分數階灰色微分方程微分求解可得到第k+1個時刻的r階預測值，結果如式(8)所示：

(8)

根據逆累加生成算子原理，可以得到第k+1個時刻的0階預測值:

(9)

1.2 參數優化

1.2.1 分數階微分模型參數優化

(10)

式(10)可以簡寫成為

(11)

式(11)中：

(12)

(13)

1.2.2 分數階優化

在最小平均相對誤差條件下，運用粒子群算法對分數階微分模型的分數階進行優化，目標函數如式(14)所示：

(14)

圖1展示了粒子群算法的結構流程。運用粒子群算法[32]優化分數階的步驟如下。

圖1 粒子群算法優化結構流程Fig.1 PSOA program flowchart of fractional order optimization

步驟1隨機初始化粒子群中粒子的位置和速度，一般可取pB=1。

步驟2將粒子中pB設置為當前位置，gB設置為最佳位置。

步驟3計算當r=pB時分數階微分模型的平均相對誤差F(pB),δ為給定的收斂值，如果|F(pB)-F(gB)|≤δ，則r=gB。如果|F(pB)-F(gB)|>δ,繼續下一步。

步驟4更新粒子的位置與速度：

V=ωV+c1ra(pB-P)+c2ra(gB-P)

(15)

式(15)中：ωV為粒子的速度，ra為隨機數，P為目前位置，c1、c2為學習因子。

P=P+V

(16)

(17)

如果粒子適應度優于pB,則pB設置為新位置，如果粒子適應度優于gB,則gB設置為新位置；

步驟5計算群體適應度方差σ2并計算F(gB)。

(18)

(19)

步驟6計算變異概率pm：

(20)

步驟7生成隨機數ε∈[0,1]，如果ε

gBk=gBk(1+0.5η)

(21)

步驟8如果ε≥pm，判斷收斂準則是否滿足，如果不滿足轉到步驟3，如果滿足轉向下一步。

2 評價模型

采用三種統計準則對分數階微分預測模型的預測性能進行了評價，分別是決定系數(R2)、根均方誤差(RMSE)、平均絕對百分誤差(MAPE)。R2用于識別觀測數據值和模型預測數據值之間的擬合優度；RMSE是最常用監測預測值與觀測值不一致的方法之一，可以指示模型預測的準確程度；MAPE常用于評估預測模型的整體預測性能。

(22)

(23)

(24)

式中：xi,e為實際觀測值；xi,p為預測值；xi,a為實際觀測值的平均值。

3 模型應用及結果分析

在油田開發的中后期，由于地層能量的損失油田產量遞減逐漸嚴重，為了提高油田的產量保證油田的經濟效益，必須對油井實施增產措施，油田的增產措施有多種，一般常規增產措施有二氧化碳吞吐、壓裂、酸壓、解堵、反抽等，不同措施對不同類型的油井增產效果不同，措施的優化選擇決定了油井增產的效果和油田的經濟效益，然而油田的措施優選的主要依據是措施的增產效果，所以油田措施增產準確預測可以為措施選擇與優化提供重要依據。為此對二氧化碳吞吐與壓裂兩種措施增產預測進行了研究，影響二氧化碳吞吐與壓裂增產的因素很多，包括剩余油飽和度、儲層厚度、地層壓力、黏度、自然裂縫滲透率、孔隙度、人工構造滲透率、人工裂縫長度、注采工藝等，但在一定時期內的采油過程中，有些因素保持不變或者變化非常微小，有些因素有一定變化且數據信息相對容易獲得。綜合考慮油井增產的所有因素，發現其內在聯系可以準確預測措施增產，但準確獲取所有影響因素的數據信息是困難或者說是不可能實現的。因此在研究二氧化碳吞吐與壓裂措施增產效果預測時，僅選取了部分主要的影響因素數據作為控制變量，此處的主要影響因素個數可以根據油田措施增產實際采集數據信息進行調整，可以增加或者減少主要的因素個數。表1展示了選取的主要因素。

表1 措施增產主控因素Table 1 Main control factors for well stimulation

單因素分析法是研究油田措施增產預測的有效方法。為了研究油井增產措施對增加產量的影響，應研究同一口油井實施增產措施的增產情況，改變影響增產措施的單個變量，來觀察增產效果，從而找到所有影響因素的作用效果。但油井增產措施實施周期較長且成本較高，利用單因素分析法研究措施增油預測模型幾乎是不可能實現的。因此，選取了中國某油田同一區塊同樣地質類型且實施同種增產措施的多口油井進行措施增產預測研究。獲取了油井2015—2016年24個月的連續監測數據，將每個月所有油井指標數據的平均值作為研究的數據值，得到了如表2、表3所示的實際數據信息。表2所示為二氧化碳吞吐措施增油量(x0)及影響二氧化碳吞吐增油量的主要影響因素剩余油飽和度(x1)、地層壓力系數(x2)與吞吐輪次(x3)的關系。如表3所示壓裂措施增油量(y0)及影響壓裂措施增產的主要影響因素剩余油飽和度(y1)、儲層滲透率(y2)與預計裂縫半長(y3)的關系。

表2 二氧化碳吞吐措施增產數據Table 2 Data on increasing production of CO2huff and puff

為了說明所建立的參數優化的分數階微分模型(M3)預測效果，選取了多元回歸模型(M1)與多元灰色系統預測模型(M2)兩種傳統的預測方法進行預測效果對比。所有模型均使用前18個月的措施增產數據進行模型參數訓練，運用后6個月的增產數據對模型的預測效果進行評價。三種預測模型分別對二氧化碳吞吐與壓裂增產措施增產進行了預測，增產預測結果如表4、表5所示。

表3 壓裂措施增產數據Table 3 Data on increasing production of fracturing

表4 二氧化碳吞吐措施增產預測結果Table 4 Forecast result of increasing production CO2 huff and puff

續表4

表5 壓裂措施增產預測結果Table 5 Forecast result of increasing production fracturing

從表4可以發現參數優化的分數階微分模型(M3)在訓練數據與預測數據的MAPE均小于其他兩種模型的數值；模型M3的評價指標RMSE小于其他兩種模型的數值，反映了M3模型的優越性；模型M3的R2更接近于1，說明模型M3預測效果較好；綜合三種評價指標分析，在三種預測模型中模型M3對二氧化碳吞吐措施增產的預測效果最好。

從表5可以發現模型(M3)在訓練數據的MAPE小于其他兩種模型的數值；模型M3的評價指標RMSE與模型M2的RMSE非常接近且均小于M1模型的RMSE；三種模型的R2均小于0，說明三種模型的R2評價均不理想，但在MAPE值評價中模型M3的值最小，說明模型M3的預測誤差在三者中最小，綜合三種評價指標分析，在對壓裂措施增產的預測中模型M3效果最好。

圖2 各模型對二氧化碳吞吐措施增產預測Fig.2 Increased production prediction of CO2 huff and puff by each models

圖2分別展示了模型M1、M2與M3對二氧化碳吞吐措施增產預測結果及預測值與原始數據的對比曲線。圖3分別展示了模型M1、M2與M3對壓裂措施增產預測結果預測值與原始數據的對比曲線，共有24組數據，其中前18組數據為模型參數訓練數據，其余6組數據用于模型預測結果檢驗，從圖3曲線可以發現模型M3的擬合與預測能力都優于其他兩種預測模型，展現了M3模型對油田措施增產預測的優勢。

圖3 各模型對壓裂措施增產預測Fig.3 Increased production prediction of fracturing by each models

4 結論

為了解決油田措施增產預測問題建立了參數優化的分數階微分模擬預測模型，通過模型建立與模型的實際應用及效果評價分析得到以下認識與結論。

(1)參數優化的分數階微分模擬預測模型具有改變不同時間數據作用權重與優化預測性能提升的特點。

(2)通過預測性能的對比，參數優化的分數階微分模擬預測模型預測性能優于一般的預測模型。

(3) 參數優化的分數階微分模擬預測模型能對二氧化碳吞吐措施增產與壓裂措施增產進行預測，說明模型具有一定的適應性，模型可以用來進行油田措施增產預測研究。