淺談列基爾霍夫回路電壓方程的簡易方法

摘 要：分析了目前大多數電工教材中講解、使用基爾霍夫回路電壓方程的不足，利用電位升降的觀點來解釋基爾霍夫回路電壓定律，把比較電壓方向及電動勢方向的問題統一到確定電位升、降的問題上來，直接從電路中任意一點出發，按任意方向繞一周回到起點，則按照電位升取正、電位降取負的原則，直接列出方程，使得基爾霍夫回路電壓定律理解起來更簡單，使用起來更方便。

關鍵詞：基爾霍夫回路電壓定律;ΣU=0;電位升降

1? ? 回路電壓定律的內容

基爾霍夫回路電壓定律的內容是：在電路的任何閉合回路中，各段電壓的代數和等于零。表達式為∑U=0。從本質上來說，基爾霍夫回路電壓定律的內容是很容易理解的：當從電路的任意一點出發，沿任意路徑繞行，必然伴隨著電位的升高和降低，當繞行一周回到起點構成一個閉合回路時，由于同一瞬間電位的單值性，同一點電位必然是相等的，則電位升、降的代數和必然為零。

2? ? 問題的提出

基爾霍夫回路電壓定律的應用主要是列回路電壓方程。按照表達式∑U=0，方程的右邊等于零不用考慮，關鍵是方程的左邊∑U，即電壓的代數和如何列。各段電壓的表達式也好辦，對無源器件無非是應用歐姆定律U=IR，對電源直接應用其電動勢E，但現在不容易確定的是各段電壓誰取正誰取負，即哪些電壓應采用加法、哪些電壓應采用減法不太明確。為了解決這個問題，人們又提出了定律的另一個表述方式：在電路的任何閉合回路中，其各個電阻上電壓的代數和等于各個電動勢的代數和。表達式為∑IR=∑E。列方程步驟如下：

（1）首先選定各支路電流的正方向。

（2）任意選定沿回路的繞行方向。

（3）比較電阻上電流正方向與繞行方向是否一致，若一致，則該電阻上的電壓取正，反之取負。

（4）比較各個電動勢的正方向與繞行方向是否一致，若電動勢方向與繞行方向一致，則該電動勢取正，反之取負。

例如，如圖1電路所示，如何列出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個回路的回路電壓方程呢？

解：（1）首先選定各支路電流的正方向，如圖1所示。

（2）任意選定沿回路的繞行方向，如圖1所示。

（3）利用∑IR=∑E列方程。對回路Ⅰ有兩個電阻、兩個電動勢，分別比較繞行方向與兩個電阻中電流方向是否一致，再分別比較繞行方向與兩個電動勢方向是否一致，列方程如下：

回路Ⅰ：I1R1+I2R2=E2-E1。

同理對Ⅱ、Ⅲ回路：

回路Ⅱ：I3R3+I4R4-I2R2=E3-E2-E4。

回路Ⅲ：I5R5-I4R4=E4。

問題到此似乎已經解決了，但仔細分析就會發現，這種方法是通過確定電流、電動勢、繞行3個方向，并反復比較3個方向的關系來確定各段電壓的正負的，非常麻煩，學生掌握起來也確實有一定的難度，而且需要學生的物理概念非常清楚：電動勢的方向與電壓降的方向是相反的，即電動勢的方向是從電動勢的負極指向正極。

上述方法使用起來至少有3處不方便的地方：

（1）需選擇繞行方向。

（2）對電阻而言，電流方向與繞行方向一致，電壓取正，反之取負，即取電壓降為正;而對電動勢而言，電動勢方向與繞行方向一致取正，反之取負，即取電壓升為正，一升一降，不便理解記憶，并且個別學生對電動勢方向的正確判定并未很好地掌握。

（3）列方程分左右兩邊，則繞行時至少需繞行兩次，并且是跳躍式的，容易遺漏。

由于步驟較多，規定復雜，不便理解、記憶，所以基爾霍夫回路電壓定律一直是學生很難逾越的難關。那么，有沒有更好、更簡便的解決方法呢？

3? ? 解決問題的思路

基爾霍夫回路電壓方程中包含了無源器件（如電阻）的電壓，也同時包含了電源的電動勢。

由于電阻的電壓正方向規定為電壓降的方向，電動勢的正方向規定為負極指向正極，即電壓升高的方向。兩個方向一升一降，如果同時放在方程的左邊，則列出的方程是錯誤的。如果放在方程的左右兩邊，則又會造成上述步驟多、不易掌握的缺點。

利用電位升降的觀點就可以輕松地解決這個難題：兩點間電壓又叫作兩點間電位之差，即UAB=UA-UB，如果A點電位UA大于B點電位UB，則UAB為正，反之UAB為負。

可見電壓的正負與兩點間電位的變化有關，兩點間電位的變化只有兩種情況：電位升高和電位降低。

按照這個思路，就可以把確定電壓正負的問題轉化為確定電位升降的問題。按照人們的習慣，電位升高即為正，電位降低即為負。那么現在的問題就是：確定電位升降的方法是什么？是否足夠簡便？

眾所周知，在電路中，對無源器件如電阻，電流總是從高電位流向低電位（類似水流），即沿電流方向電位降低，逆電流方向電位升高。則順電流方向電壓取正，逆電流方向電壓取負。而對電動勢來說，每個人都知道：電源的正極電位比負極電位高。則從電源的正極到負極，電位降低取負;從電源的負極到正極，電位升高取正。這樣，把確定電壓方向和電動勢方向的問題統一到確定電位升、降的問題上，不需要再選擇回路的繞行方向，不需要再明確電壓和電動勢的正方向是如何規定的，直接從回路的任意一點出發，沿任意方向繞行，每通過一個器件就按上述方法確定是電位升高了還是電位降低了，升高取正號，降低取負號，并把得到的帶有正負號的電壓統統放到方程的左邊，方程的右邊一定為零。

4? ? 解決問題的步驟

我們仍然使用∑U=0這個公式。對任意待求電路來說，按照回路電壓定律，從電路任意一點出發，沿任意方向繞行一周，電位升高和降低的代數和為零。首先仍然需要選定各個支路的電流方向，不需要再選繞行方向，也不需要再明確電動勢的方向，直接從電路中任意一點出發，按任意方向繞一周回到起點，則按照電位升取正、電位降取負的原則，直接列出方程。

同上例，分別列出圖2所示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個回路的回路電壓方程。

解：回路Ⅰ：-E1-I1R1-I2R2+E2=0;

回路Ⅱ：-E2+I2R2+E3-I3R3-I4R4-E4=0;

回路Ⅲ：E4+I4R4-I5R5=0。

可見，所列方程與前面所列完全相同。該方法基本克服了原方法中的缺點，其優點如下：

（1）無需選擇繞行方向，只要繞行一周，怎么繞、從哪繞都可以;

（2）無需進行兩個方向的比較;

（3）只需繞行一次即可。

5? ? 結語

綜上所述，基爾霍夫回路電壓定律用電位升降的觀點來解釋，思路十分清晰，具體使用起來也不復雜，掌握起來十分簡便。從筆者的教學實踐來看，原來需多次講解、反復練習的基爾霍夫回路電壓定律，經一次課講解、練習，絕大多數學生都掌握住了，較之以前，效果好了，效率也提高了。

收稿日期：2020-03-30

作者簡介：王繼先（1969—），男，河南開封人，工程碩士，高級講師，主要從事工業電氣自動化方面的教學和科研工作。