數學思想專題

劉天勇

整體思想就是考慮數學問題時不是著眼于它的局部特征，而是把注意力和著眼點放在問題的整體結構上，通過對其全面深刻的觀察，從宏觀整體上認識問題的實質，把一些彼此獨立，但實質上又緊密聯系的量作為整體來處理的思想方法。整體思想作為一種思想方法在數學的學習中廣泛地應用，尤其在比較復雜的題目中，希望大家重視起來。

一、整體思想在整式中的應用

例1：計算（x-y+z）（x+y-z）。

分析：對照平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，需要把（y-z）看作一個整體，相當于公式中的b，整體變換，本題就可以運用平方差公式進行計算了。

解：（x-y+z）（x+y-z）=[x-（y-z）][x+（y-z）]

=x2-（y-z）2=x2-y2+2yz-z2。

例2：已知2x+3y-3=0，求9x·27y的值。

分析：要求9x，27y的值，先把它們的底數都變為3，運用同底數冪的法則進行運算，然后根據2x+3y-3=0得2x+3y=3，整體代入就可以求出它的值。

解：9x·27y=（32）x·（33）y=32x+3y。

因為2x+3y-3=0，所以2x+3y=3，所以原式=33=27。

二、整體思想在分式中的應用

例3：已知，求的值。

分析：這個題可以將要求的分式化簡，然后將已知條件整體代入，也可以變形已知條件和要求分式，然后再整體代入。

解：由題意得x≠0，y≠0，所以把分式的分子、分母都除以xy得，。

例4：已知，試求的值。

分析：本題的已知條件和要求結論都是分式，并且分子都是單項式，往往通過整體聯想將它們倒過來求解。

解：因為，所以=5，x+=4。

，

所以。

三、整體思想在根式中的應用

例5：已知x+y=-5，xy=3，求的值。

分析：因為xy=3，所以x、y同號，又因為x+y=-5，所以xy根據這個隱含條件進行化簡，再整體代入。

解：因為x+y=-5，xy=3，所以x<0，y<0。

。

例6：已知x為的小數部分，求x3+6x2+7x+2018的值。

分析：因為x為的小數部分，所以x=-2，x+2=，將這個等式兩邊平方得，x2+4x-1=0，變形x3+6x2+7x+2018，然后整體代入，本題整體代入的方法不止一種。

解：由題意得x=-2，所以x+2=，兩邊平方得，x2+4x-1=0。

x3+6x2+7x+2018=（x3+4x2-x）+（2x2+8x-2）+2020

=x（x2+4x-1）+2（x2+4x-1）+2020=2020。

四、整體思想在方程（組）中的應用

例7：解方程組

分析：此題可以用常規的代入消元法或者加減法消元法來解，但如果用整體代入的思想會更簡單。

解：由得2（x+y）+3y=17③，

把①代入③得，y=3。

把y=3代入①得x=1。

所以

例8：閱讀下面的材料，回答問題：

解方程x4-5x2+4=0，這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它可以這樣解：

解：設x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變為y2-5y+4=0，

解這個方程，得y1=1，y2=4。

當y=1時，x2=1，∴x=±1;

當y=4時，x2=4，∴x=±2;

∴原方程的根為：x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2。

請利用以上知識解決下列問題：

如果（m2+n2-1）（m2+n2+2）=4，那么m2+n2=_。

分析：本題主要考查的是換元法解一元二次方程的有關知識，令m2+n2=y，將（m2+n2-1）（m2+n2+2）=4變形為（y-1）（y+2）=4，然后求解即可。

解：令m2+n2=y，

則（m2+n2-1）（m2+n2+2）=4變形為（y-1）（y+2）=4，

∴y2+y-6=0，∴y2+y-2=4，∴（y+3）（y-2）=0，

解得：y=-3或y=2，∵m2+n2=y，∴y≥0，∴y=2。

∴m2+n2=2。

故答案為2。

五、整體思想在幾何中的應用

例9：已知直角三角形周長為22cm，斜邊為10cm，求此直角三角形的面積。

分析：如果設此直角三角形的兩直角邊為a和b，那么直角三角形的面積為，但是不一定非要求出a和b的具體數值，利用整體加減，只要能夠求出這個整體就可以了。

解：設此直角三角形的兩直角邊為a和b，由題意得把①兩邊平方，得a2+2ab+b2=144③，

把②代入③得，ab=22，所以=11，所以此直角三角形的面積為11cm2。

例10：已知△ABC中，∠BAC=50°，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，求∠BPC的度數。

分析：要求∠BPC的度數，不是說非要求出∠PBC和∠PCB得到度數，僅需求出∠PBC+∠PCB這個整體的度數就可以了。

解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠BAC=50°，

∴∠ABC+∠ACB=130°。

∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，

∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，

∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=65°。

∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，

∴∠BPC=115°。

通過以上的典例，我們對整體的思想會有進一步的認識。整體思想是一種重要的數學觀念，一些數學問題若拘泥于常規，則舉步維艱，若能從整體上去發現問題、提出問題、思考問題、分析問題、解決問題，則常常能化繁為簡、變難為易，從而柳暗花明，一舉成功，順利解題。