函數的性質在解題中的應用

周康新

【摘 要】 本文主要是對函數的性質在解題中的應用進行分析和探究，進而培養學生的分析問題和解決問題的能力。我們在解函數類型的題目時，如果能夠挖掘題目中的隱含條件，利用函數的性質，常常能夠快速解決。

【關鍵詞】 函數的性質;單調性;奇偶性;數學方法

函數是高中數學的主要內容之一，掌握函數的性質對研究函數的內在聯系，培養學生分析問題和解決問題的能力有著非常重要的作用。本文主要是對函數的性質在解題中的應用進行分析和探究，進而培養學生的分析問題和解決問題的能力。我們在解函數類型的題目時，如果能夠挖掘題目中的隱含條件，利用函數的性質，常常能夠快速解決。函數的單調性和奇偶性是研究函數的兩大基本工具，在學習中要充分挖掘其潛在解題功能。

一、函數單調性

判斷函數單調性（求單調區間）的方法：從定義入手、從導數入手、從圖像入手、從復合函數的單調性入手等。函數的單調性是函數的一個重要性質，學會判斷函數的單調性對學生來說尤為重要。根據定義求解具有很強的嚴密性，推理比較嚴格，但過程比較復雜;用圖像法求解，比較直觀，但需要畫出圖形，也不夠嚴密;利用導數求解，方法比較新穎，過程也比較簡單;若一個函數是由兩個或以上的簡單函數復合而成，利用復合函數法求解，簡單快捷，但要特別注意在定義域內研究。總之，方法各有千秋，我們應當認真體會和理解，從而提高解決函數單調性問題的能力。

二、函數奇偶性

函數奇偶性的判斷方法包括：第一，定義法：①看定義域是否關于原點對稱;②看f（x）與f（-x）的關系。這種方法我們一般用來證明函數的奇偶性，過程比較嚴密。第二，圖像法：作出圖像，看是否關于原點或y軸對稱。這種方法比較直觀，但不嚴密，而且需要作出它的圖像。

三、函數的性質應用

例1：判斷函數f（x）=x2-4、g（x）=x2-|x|、h（x）=x2-|x|-2的奇偶性，并畫出圖像，求出函數的零點，說出這些零點有何特點。

這3個函數都是偶函數， 偶函數的圖形關于y軸對稱，零點具有對稱性，若x=a是函數的零點，則x=-a也是函數的零點。

變式1：若函數f（x）=x2+2a|x|+4a2-3（a∈R）的零點有且只有一個，求實數a的值。

易知x=0是函數f（x）的零點，且f（x）沒有其他零點。由f（0）=0得a=。當a=時，代入函數知函數零點有三個：x1=0，x2=，x3=，不符合題意;當a=時，知函數的零點只有一個x=0。于是a=。

變式2：已知方程有唯一解， 求實數a的值。

方程轉化為函數為，由題意我們知道方程有唯一解，轉化為函數有一個零點。 于是x=0是函數f（x）的零點，且f（x）沒有其他零點。由f（0）=0得a=0或a=2。當a=0時，f（x）=x2有唯一的零點x=0;當a=2時，函數的零點有三個，即方程的解有三個x1=0，，，不符合題意。于是a=0。

判斷函數f（x）=x3、g（x）=x3+2x的奇偶性和單調性，并畫出圖像。這兩個函數都是奇函數，奇函數的圖形關于原點對稱，且這兩個函數在R上單調遞增。

追問：若a，b互為相反數，則f（a）與f（b）的關系為f（a）=-f（b），反之成立嗎？

對于例題中的兩個函數結論是成立的，但是對于其他的奇函數不一定成立。例如h（x）=sinx，h=h，但是與不互為相反數。

例2：已知函數f（x）=x3+2x。

（1）若f（x）=t，f（y）=-t，t∈R，求x+y的值;

（2）若f（x-1），f（y-1）=-t，t∈R，求x+y的值。

奇函數的圖像關于原點對稱，且此函數在R上單調遞增。若函數值互為相反數，則自變量也互為相反數。我們可以得到（1）中的x，y互為相反數，進而x+y=0。對于（2），我們只需把x-1，y-1當成一個整體，當成一個數，這兩個數也互為相反數，我們得到（x-1）+（y-1）=0，即x+y=2。

變式1：x，y為實數，且滿足關系式（x-1）3+2（x-1）=3，（y-1）3+2（y-1）=-3，求x+y的值。

本題我們可以直接猜出x=2，y=0是方程的解，但是解答不嚴密。如果此題把方程改為（x-1）3+20（x-1）=3，（y-1）3+20（y-1）=-3，此時方程的解并不好猜測。放在這里，我們是要運用函數的知識解決這個問題。兩個方程形式上很相似，很整齊，其實我們要考查這樣一個函數f（x）=x3+2x，這個函數的性質我們已經研究過了。現在我們來看本題，不就是f（x-1）=3，f（y-1）=-3，函數值互為相反數可以推出x-1，y-1也互為相反數，我們可以得到（x-1）+（y+1）=0，即x+y=2。

變式2：a，b為實數，且滿足關系式a3-3a+5a=1，b3-3b2+5b=5，求a+b的值。

首先兩個方程可化為：（a+1）3+2（a-1）=-2，（b-1）3+2（b-1）=2，這是本題的關鍵，然后也考慮函數f（x）=x3+2x，跟前面一樣，得出答案a+b=2。

變式3：方程（x+1）3+（2x+3）3+6x+8=0，求方程的解。

有同學看到這樣一個方程，總會把方程左邊完全拆開，再轉化為一個函數，利用導數研究函數的單調性，進而猜測方程的解，這是一個辦法。但是我們可以將此方程變形為這樣的方程：（x+1）3+（2x+3）3+2（x+1）+2（2x+3）=0，即（x+1）3+2（x+1）=-[（2x+3）3+2（2x+3）]令f（x）=x3+2x，則有f（x+1）=-f（2x+3），于是x+1=-（2x+3），得x=。

變式4：已知函數f（x）=x3+2x，對任意的t∈[-3，3]，f（tx-2）+f（x）<0恒成立，求x的取值范圍。

解答：由題意知：對任意的t∈[-3，3]，f（tx-2）<-f（x），因為f（x）在R上是奇函數，所以可轉換為對任意的t∈[-3，3]，f（tx-2）<-f（x），又因為f（x）在R上是增函數，所以對任意的t∈[-3，3]，tx-2<-x，即對任意的t∈[-3，3]，tx+x-2<0，令g（t）=xt+x-2，這是關于t的一次函數或常數函數，我們只需端點處成立即可。于是g（-3）<0，g（3）<0，解得-1

變式5：已知函數，函數f（x）的最大值M，最小值m，求M+m的值。

解答：由函數解析式可以轉化為，令，則f（x）=1+g（x），求f（x）的最大最小值也是在求g（x）的最大最小值。而g（x）是奇函數，根據奇函數圖像的特點知道最大最小值互為相反數，即g（x）max+g（x）min=0。于是M+m=（1+g（x）max））+（1+g（x）min）=2。解決此類問題并不是單純的奇函數或者偶函數，而是給出函數解析式一部分是具有奇偶性的，因此先要對函數表達式進行化簡變形才行。

通過一些例題和變式初步探討了函數的性質在解題中的應用。通過例題結合函數性質來解決高中數學問題，使我們了解這種重要的數學思想方法。接下來需要我們不斷地在實踐中總結，對函數性質進一步的理解，并逐步形成科學的分析問題和解決問題的能力。

【參考文v獻】

[1]呂風祥.中學數學解題方法[M].哈爾濱： 哈爾濱工業大學出版社，2003.

[2]華東師范大學數學系編.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.