概率論思想在高等數學解題中的應用

陳華 何佳怡 劉妍 楊逸雯

摘? 要：高等數學是一門基礎科學， 其特點是高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性。正因為其自身固有的這些特點，使得高等數學中的某些計算及證明問題難度較大，而概率論是研究隨機現象數量規律的一門學科，它與我們的生活息息相關。在高等數學應用中巧妙地引入概率論思想不僅能夠提高解題效率，使復雜的問題變得相對簡單，而且還能提升學生的學習積極性。文章結合具體習題，闡述并歸納了概率論思想在高等數學解題中的一些應用，不僅為學生提供了新的解題思路，從而提高解題效率，也揭示了不同數學學科之間的本質聯系，使學生系統地掌握數學知識體系。

關鍵詞：概率思想;高等數學;歸一化;概率模型

Abstract： Higher mathematics is a basic science， which is characterized by high abstraction， strict logic and extensive application. Because of its inherent characteristics， some calculation and proof problems in higher mathematics are more difficult， and probability theory is a subject that studies the number of random phenomena， which is closely related to our life. The introduction of probability theory into the application of higher mathematics can not only improve the efficiency of solving problems and make complex problems relatively simple， but also improve students' learning enthusiasm. Combined with specific exercises， this paper expounds and summarizes some applications of probability theory in solving problems of higher mathematics， which not only provides students with new ideas to solve problems， thus improving the efficiency of solving problems， but also reveals the essential relationship between different mathematics disciplines， so that students can systematically master the system of mathematical knowledge.

Keywords： probability thinking; advanced mathematics; normalization; probability model

概率論是研究自然界中大量隨機現象統計規律性的一門科學，興起于17世紀的意大利，最初被用作計算賭博的獲勝概率，而后逐步發展從數學觀點研究隨機現象的基本性質，也因此與高等數學產生了密不可分的聯系。概率論是高等數學的基礎課程，它們既相互區別，又相互滲透;高等數學是概率論的基礎，在一定條件的前提下，許多數學問題可以用概率論思想分析解答。概率論的應用不僅可以簡化運算，同時讓枯燥的數學計算題有了豐富的概率背景。在教學中可以考慮多個學科結合，鼓勵學生發現和解決問題，有助于理論知識的鞏固和掌握。

一、歸一化思想在高等數學積分和級數求和計算中的應用

歸一化思想來源于概率最基本的性質——正則性[1-2]，即所有可能隨機事件發生的概率之和為1，不論是離散型隨機變量還是連續型隨機變量都滿足這一性質，因此在已知概率密度或概率分布的情況下，可以方便得求出某些積分和求和式子的答案。

在高等數學中，積分計算是一項必備技能，通過幾何意義、換元積分法和分部積分法等方法可以得出大部分積分的值，然而有些不定積分雖然存在，但卻無法用初等函數表示，也稱“積不出來”，或是通過常規方法求解困難，這時采用概率思想就能方便快捷地解答。

在具體求解的時候，需要構建概念模型，將正態分布相關性質結合起來，通過這樣的方式，就可以讓復雜的二重積分問題轉變成簡單的問題，最后使用相關知識就能夠將二重積分函數解出來，節省了時間和精力，通過概率思想進行二重積分的證明問題能夠起到十分有效的作用。

二、連續型隨機變量的期望和方差在高等數學積分計算中的應用

隨機變量的數學期望和方差關系是比較難的計算問題，如果知道了隨機變量X的具體分布情況，我們就能夠知道X的所有特征。在一些實際應用中，只需要了解它的某些數字特征就行了。所以，在對隨機變量的研究中，將某些數字特征確定下來很重要，其中，最常使用的是隨機變量的數學期望和方差[4-6]。由于隨機變量的數學期望和方差相關內容比較復雜，如果使用常規的方法進行計算，會具有很大的難度。在實際計算的過程中，使用概率思想，就能夠將相關的被積函數進行變形，將其轉變為隨機變量數學期望，從而能夠解決問題。

三、通過概率模型簡化高等數學中的多項式求和

概率模型（Statistical Model，也稱為Probabilistic Model）是用來描述不同隨機變量之間關系的數學模型，通常情況下刻畫了一個或多個隨機變量之間的相互非確定性的概率關系[6]，在高數計算中常常會碰到難以化簡或求和的多項式，如果每一項的值都在[0，1]區間內，這時候就可以采用概率思想，構建一個簡單的概率模型，再通過相關性質求出答案，概率模型的構建使得抽象問題變得形象可感，降低了學生接受和理解的難度，從而達到較好的教學效果。

解：構建概率模型：箱子里有a個紅球與b個白球，從中取出一個球，若為紅球則成功，反之失敗。若失敗則再往箱子里放入1個黑球，進行第二輪取球，直至成功。則題中多項式第一項即代表第一輪就取球成功，第二項代表第二輪取球成功……依此類推，最后一項為第n輪取球成功，當n趨向于無窮大時，各項概率之和趨向于1，因此答案為1。

四、運用概率思想證明不等式

不等式是高等數學的重要知識點，也是學生普遍感覺有學習困難的地方，將概率論應用到不等式中，是因為不等式與概率論存在某些相似性，在概率論中有許多地方都用到了不等式，比如車貝雪夫不等式、中心極限定理、期望與方差，這些不等式有大量的統計數據作為支撐，在一定條件下可以應用在高等數學習題解答中，為一些不等式的證明提供了方便。

五、結論

本文通過舉例題與推廣的方法，將概率論與高等數學聯系起來，既便于加深對相關知識的理解，又為今后的高數解題提供了某些新思路，在做積分的運算時，巧妙利用一維與二維隨機變量的密度函數、分布函數以及數學期望的性質，簡化某些積分運算;在多項式求和時，特別是當各項均大于0且小于1時，通過建立概率模型的方法，化抽象為具體，在容易理解的基礎上達到快速求解的目的;在復雜不等式的證明中，通過利用數學期望與方差的關系、中心極限定理、正態分布等知識，將其轉化為概率問題，再由已有的概率論方面的性質或數據求解，從而達到簡化證明的目的。本文基于概率論思想在高等數學解題中的應用進行探討，旨在建立不同數學學科之間的本質聯系，促進學生對知識體系的整體構建與掌握。本文也為探究學科的交叉與融合的模式及發展規律提供新思路。

參考文獻：

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[2]盛驟，周明陽.淺談概念論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2016（17）：330-338.

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