球體轉(zhuǎn)動慣量推導(dǎo)過程中的啟示

芮云軍

摘 要 微積分是推導(dǎo)剛體轉(zhuǎn)動慣量的基礎(chǔ)。但是，不同的積分對象，其表達的含義不同。本文通過球體“微元法”、“微盤法”和“微面法”的比較，加深了學(xué)生對轉(zhuǎn)動慣量概念的理解，同時體現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動慣量可以疊加的特性。

關(guān)鍵詞 轉(zhuǎn)動慣量 積分 微元法 微盤法 微面法 疊加

中圖分類號：G642文獻標(biāo)識碼：A

0引言

大學(xué)物理教學(xué)時，轉(zhuǎn)動慣量是剛體力學(xué)的重要知識點，也是學(xué)生理解的難點。但是通過對不同剛體（直棒，圓柱體，球體）轉(zhuǎn)動慣量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可以極大地加深學(xué)生對轉(zhuǎn)動慣量概念的理解。我們知道，采用“微元法”，即

也就是剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于其各“質(zhì)量元”與其到轉(zhuǎn)軸距離（r'）平方的乘積之和。實際上，我們也可以將公式（1）變形如下。

此時，公式（2）中的dJ 表示為剛體某一部分的轉(zhuǎn)動慣量，比如微圓盤，微圓面等，而不僅僅是微質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量。這樣改變積分變量，讓學(xué)生體會了剛體轉(zhuǎn)動慣量可以疊加的性質(zhì)，也為后續(xù)用實驗方法（如扭擺，三線擺）測量多個不規(guī)則物體轉(zhuǎn)動慣量做了理論指導(dǎo)。

1三種積分變量的比較

首先來看“微元法”，如圖1（a）所示，微元的質(zhì)量（dm）可以表示為立體角中微體積（dV）與密度（ ）的乘積。而微體積的長、寬、厚度分別為rsin d ，rd ，dr，所以其轉(zhuǎn)動慣量可以表示為

而采用“微盤法”，可以將球體的體積分成很多圓盤的組合，如圖1（b）所示。這些圓盤直徑不同，但各自繞（z）軸的轉(zhuǎn)動慣量的表達形式是相同的，也是學(xué)生們熟知的，即J=mr2/2。所以可以利用公式（2），計算球體的轉(zhuǎn)動慣量。注意，“微圓盤”的質(zhì)量可表示為 dV= r2dz，其中微圓盤半徑為r=。另外相比較“微元法”，轉(zhuǎn)動慣量中有系數(shù)1/2。所以

最后，我們采用“微面法”，如圖1（c）所示。這個球體可以看成很多一定厚度（dr）的球面構(gòu)成，每個球面繞（z）軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=（2/3）mr2。注意，“微球面”的體積可表示為 dV=4 r2dr。另外相比較“微元法”，轉(zhuǎn)動慣量中有系數(shù)2/3。利用公式（2），可得

2結(jié)束語

上述推導(dǎo)表明，公式（1）與（2）不能混淆。前者根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義，采用“微元法”，體現(xiàn)了各質(zhì)量元（質(zhì)點元）轉(zhuǎn)動慣量的疊加;后者采用“微盤法”、“微面法”，體現(xiàn)各質(zhì)量盤、質(zhì)量面轉(zhuǎn)動慣量的疊加，其中的系數(shù)1/2，2/3，要特別注意，不能省略。

參考文獻

[1] 張金鋒，劉建軍，公丕鋒，袁五屆.基于均質(zhì)球?qū)ΨQ剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2016（01）：84-86.

[2] 車曉芳.均勻球體轉(zhuǎn)動慣量的多種求法[J].物理通報，2011（04）：44-45.