例談幾何背景下運算能力的培養策略

摘 要：數學運算包含了代數背景下的運算和幾何背景下的運算，幾何背景下的運算是指運算的對象是幾何量，如線段長度、角度大小、面積、周長等。幾何背景下運算的難點在于如何從所給的條件以及圖形中構造出等量關系，這就使得在幾何背景下的運算與邏輯推理息息相關。可見，幾何背景下的運算能力標準與常見的代數運算的水平標準是不一樣的。因此，研究有效培養學生在幾何背景下的運算能力的策略是非常必要的。

關鍵詞：幾何背景;運算;圖形;等量關系;邏輯推理;策略

運算作為基本技能，在所有研究領域都起到了至關重要的作用。同時，運算能力的發展又有助于培養學生觀察、發現、分析問題的能力。在初中數學中，幾何背景下的運算問題是重點考查方向，也經常需要通過幾何運算的結果確定推理方向。因此，幾何背景下的運算是中學生的一項重要技能，也是促進學生能力發展的重要因素。本文將以人教版七年級上《角的運算階段復習》為例，談談基于幾何背景下運算能力培養策略。

一、 教材與學情分析

本節課是旨在培養學生在幾何背景下的運算能力的一節階段性復習課。本節課通過復習鞏固—問題探究—變式訓練這三個環節來突破難點，以發展學生的運算能力。課堂上，引導學生進行觀察發現并總結等活動，經歷從特殊到一般的過程，學習一些常用的解決問題的技巧，從而培養學生在幾何背景下的運算能力。

學生雖然在此之前已經學過了線段的運算，但是對于七年級上的學生來說，他們對于幾何的相關運算還是很陌生，存在畏難情緒。在這個階段的學習中，除了對運算有要求外，還要求學生具備一定的推理能力。基本圖形的認識不論是對于幾何中的運算，還是對于推理都是至關重要的。因此，本節課想借助常見的復合角的模型，滲透研究一般幾何問題的套路以及常用的一些運算技巧。

二、 教學過程

（一）熱身訓練

1. 如圖1所示，若∠AOB=44°30′，∠BOC=16°24′，則∠AOC=??? 。

2. 如圖2，∠1的余角可能是下圖中的（? ）

3. 如圖3，O為直線AD上的一點，OB是∠AOC內部的一條射線，且滿足∠AOC與∠AOB互補，∠AOB=25°，求∠COD。

（二）教學活動

課前請學生快速完成上述3題并講評。其中第3題學生可能會有兩種解法：

法一：∵∠AOC與∠AOB互補

∴∠AOC=180°-∠AOB=155°

∵∠AOC與∠COD互補

∴∠COD=180°-∠AOC=25°

法二：∵∠AOC與∠AOB互補

又∵∠AOC與∠COD互補

∴∠COD=∠AOB=25°

問1：這兩種解法你認為哪種比較好？

問2：在上述兩種解法方法中，我們通過哪些方法找到的角與角之間的數量關系？

總結：做題之前，要先分析問題，選擇恰當的方法解題。

設計意圖：通過3個小題引導學生復習角的和差運算、余補角的概念、性質及簡單的運用等知識。為接下來的問題探究提供模型和解題思路。其中，第3題通過對比這兩種解法，引導學生從多角度思考問題，并能對不同方法進行評價，強化從已知條件出發探索出最優解的思維習慣。同時，也想通過第3題來引導學生從題目已給的條件當中尋找數量關系，也要懂得從圖形中尋找隱含的數量關系。為本節課第二部分做鋪墊。

三、 問題探究

例1 （1）如圖所示，將一副三角尺的直角頂點重合在點O處，找出圖中以O為頂點的相等的角，并說明理由。

教學活動：問1：圖中以O為頂點的角有哪些？

問2：請把這個情境中的幾何圖形畫出來。

問3：這個圖形你熟悉嗎？是什么模型？

歸納：同角的余角模型。

設計意圖：讓學生動手拼湊、獲得經驗，再從實物中抽象出幾何圖形（如圖5）發展數學抽象能力。

（2）①若∠AOC=130°，則∠BOD的度數是多少？

教學活動：問1：已知∠AOC=130°，你可以知道什么？

問2：∠BOD該如何求？

問3：如何把你的思維過程用符號語言描述出來？

設計意圖：引導學生經歷文字語言、圖形語言以及符號語言的轉化，從而邏輯推理過程用簡潔的符號語言呈現出來;同時，再次引導善于從圖形中尋找數量關系;此外，示范書寫過程，對于學生在推理計算過程中出現的常見錯誤進行糾正。如直接寫：

“∵∠AOC=130°，∴∠AOD=40°”等。

②若∠AOC=2∠BOD，則∠AOC、∠BOD的度數分別是多少？

教學活動：問1：題中沒有告訴我們任何角的度數，只告訴了我們一些角之間的關系，這時該如何求角的度數？

問2：你能找出多少個本題包含角的數量關系？

列舉出：∠AOC=2∠BOD;

∠AOD=∠BOC;

∠AOC=∠AOD+∠BOD+∠BOC;

∠AOD+∠BOD=∠BOD+∠BOC=90°等式子。

問3：從上述數量關系中，你發現了什么？（這些角之間兩兩相關，知其一而知全部）

問4：如果設其中一個未知角的度數為α，其他的角能用α表示出來嗎？

問5：你認為設哪個角為α比較好？

歸納：當問題中的多個未知量兩兩之間有關系，往往可以考慮設其中一個量來解決。

設計意圖：學生可能會設∠BOD或者∠AOD為α，都可以在圖形上直觀地用字母表示出它們的度數，這樣數量關系就很容易找到了。最后對這兩種方法進行評價，看哪種設法更簡捷，并讓學生反思為什么這里要考慮到設元，設元有什么好處？（直觀，易于運算）

③從中，你發現了什么？并嘗試證明。

教學活動引導歸納發現：∠AOC+∠BOD=180°。

設計意圖：歸納出這個基本圖形隱含的一般性結論，為后續解決更加復雜的幾何問題做知識鋪墊。

（3）當旋轉其中一個三角板至如圖6位置時，上述發現還成立嗎？說明理由。

教學活動：問1：你認為上述發現∠AOC+∠BOD=180°此時還成立嗎？你能模仿上述證明過程說明理由嗎？

問2：證明兩角之和為180°的途徑有哪些？還可以借助什么模型來做？（提示：平角模型）

設計意圖：嘗試讓學生小組討論來解決問題，可以用上述方法論證，也可以用動態變化中變與不變量來解釋。

變式：已知點O是直線AB上的一點，∠COE=90°，OF是∠AOE的平分線。

（1）如圖7，當點C、E、F在直線AB的同側時，試判斷∠BOE和∠COF的數量關系，并證明;

（2）如圖8，當點C與點E、F在直線AB的兩側時，（1）中的結論是否仍然成立，請給出你的結論，并說明理由。

教學活動：問1：對于問題（2），你能從中找到什么數量關系？

問2：這些數量關系中哪些是已知量？哪些是未知量？能夠解決問題了嗎？

問3：怎樣設計解題思路才能最快得到答案？

設計意圖：在例1的基礎上，學生已經獲得了一些探究問題的經驗，也積累了一些幾何背景下的運算技巧。這一變式的目的在于讓學生自主探究，發展探究問題的能力。但是也要引導學生當探索未知的數量關系時，可以用特殊值代入來確定，把復雜問題簡單化，再用設元的方法說明理由。通過及時訓練，讓學生學有所得，增強自信心。

四、 課堂小結

1. 我們可以從哪些角度入手尋找數量關系？

2. 當圖形復雜時，該如何處理？

3. 當未知量很多，并且它們之間兩兩相關時，可以怎么做？

4. 猜想角與角的數量關系，可以怎么做？

設計意圖：本節課在知識層面上以鞏固為主，沒有再學新的知識，是在學生初學幾何時的一節復習鞏固課，側重點在于如何尋找圖形和試題中所給的數量關系，并用簡潔的符號語言呈現出邏輯推理過程。用幾個問題帶動學生回顧本節課所用的一些解題技巧，讓學生理清自己的思維過程，促成對運算過程中優點或不足的深刻認識，對運算過程進行修正和完善，對今后解決類似問題的能力遷移，簡縮思考時間，實現思想方法的提升。

五、 課后反思

（一）設計層次分明的教學內容有助于促進學生思考

循序漸進的思維活動有利于調動學生學習的積極性，讓每個層次的學生都能夠進行一定的思維活動，并得到一定發展。應關注每一個學生的課堂反應，鼓勵所有學生參與課堂討論活動，各抒己見，實現思維的螺旋式上升。

（二）設計主題明確的復習課教學活動

很多老師會采用做練習、講練習的形式來組織復習，這樣很容易出現滿堂灌的情況，主題不明確，內容太多且不成體系導致學生接受不過來，同時對每個問題又都無法進行深入探究，這樣的復習是比較無效的。本節課從最簡單的余角、補角結構入手，后續的探究活動都在這個結構的基礎上進行變式，整節課都在圍繞引導學生關注從試題的文本以及圖形兩個維度尋找數量關系探究簡潔運算方向這個主題展開。在這過程中，傳達給學生探究問題的一般思路以及一些常用技巧，進而逐步發展學生的探究能力。

（三）盡可能使用同一幾何背景下的題組或變式訓練以提高課堂效率

對于幾何背景下的探究問題，學生需要一定時間來熟悉圖形，因此，在授課過程中盡量在同一個圖形中設計探究問題，這樣可以讓學生省去不少審題的時間。本節課主要探究活動都是在一副三角尺的直角頂點重合在點O處的情境下展開的，每一小題都在上一小題的基礎上展開，不斷疊加其他技能，層層遞進。這讓每個環節的探究都有意義，尋找到學生的最近發展區，讓學生在有限的時間內得到最大限度的提升。以題組的形式對基本圖形進行分解或組合，引導學生借助基本圖形尋找量之間的聯系，實現運算、推理技能的自動化，從而能順利向能力過渡。

（四）歸納基本圖形的特征，加強幾何直觀

幾何背景下的運算一定是與圖形息息相關的，因此，我們需要逐漸培養學生試圖畫圖的能力，在基本圖形的基礎上疊加條件，體會圖形與技能的疊加。同時也要培養學生依據圖形進行猜想和探索的意識。如本節課中的變式，首先引導學生猜想運用特殊值帶入猜想兩角之間的關系，再執果索因，明確運算方向，引導學生進行適當的逆向思考，也是發展能力的關鍵。

作者簡介：邱萍，福建省廈門市，福建省同安第一中學。