把握本質 類比建構

摘 要：“周長”和“面積”兩個概念易混淆，學生練習中的錯誤多得實在令人扎心。要幫助學生真正理解

“周長”和“面積”的概念，把握概念的本質是關鍵。教學中緊扣核心問題，設計有效的學習活動，讓學生充分體驗與感悟，深刻理解概念。二者都屬于度量范疇，教學中應適時引導學生進行橫縱類比，深化概念，構建知識體系。

關鍵詞：概念;本質;核心;類比;建構

“周長”和“面積”是“圖形和幾何”領域中的兩個重要內容。北師大版教材按照先學周長再學面積的思路進行編排，分別將兩部分內容安排在三年級上冊與三年級下冊。為了幫助學生建立周長、面積的概念，發展學生的空間觀念，教材在編寫上重視概念的形成過程，注重在直觀操作和形式多樣的活動中體驗。然而在教學現實中，這兩個概念的混淆卻一直困擾著學生和老師。

緣起 聞怨言——學生錯誤甚扎心

來自一線老師的心聲：

明明在課上反復講、反復做，學生就是分不清周長和面積……

教學時特別注重從學生的已有經驗出發，結合生活中熟悉的具體事物來幫助學生認識周長、面積?！胺忾]圖形”“一周”“平面圖形”“物體表面”這些重點詞明明都落實了，為什么還這么多錯呀？

通過引導學生在觀察、操作、交流等多種形式的活動中，逐步理解周長與面積的實際含義，按理說學生該獲得了許多經驗，建立了周長與面積的概念的呀，為什么還是不理解？

擔心學生混淆，特意進行了一些對比練習，但效果仍不佳……

長方形、正方形的周長與面積公式學生背得很溜，基本題也掌握得不錯的，但總面對一些實際問題時，學生便亂了馬腳。

剛學習時明明做得很好，過了段時間怎么又不會了！

學習周長相應的題目明明是做得很好的，可學了面積之后，又亂了！

……

覃思 找對策——柳暗花明又一村

在感嘆學生錯題扎心時，我們更應該反思。這些看似平常的問題，學生卻反復出錯的原因是什么？是不是我們在教學中忽略了什么？學生對周長、面積認識的難點在哪里？怎樣才能幫助學生真正建立周長和面積的概念？筆者淺談幾點拙見。

一、 溯源——明晰本質

周長和面積的概念是抽象的。概念的建立不是概念術語的記憶過程，也不是單純的直觀形象的積累過程，而是概念意義的建構過程。為了更好地幫助學生完成概念的意義建構，明晰概念的本質是關鍵。追本溯源，什么是周長？雖然各版本的教材表述略有不同，但基本一致：物體表面或平面圖形一周的長度。許多老師圍繞著這句話做教學設計，在“什么是表面”“什么是一周”“什么是封閉”等問題上下足了功夫。如果僅僅停留于此常識性的定義，會造成學生說起周長，定義呼之而出，卻不能真正理解概念。進而，深思“周長的本質是什么”。辭海對周長的定義是：“環繞有限面積的區域邊緣的長度積分，叫作周長，也就是圖形一周的長度。”顯然，圖形的周長就是用適當的長度單位量出圖形邊線的長度，即“度長”。

什么是面積呢？物體表面或平面圖形的大小稱為面積。面積作為事物的一種屬性，和長度一樣，是可以度量的。對一個二維圖形的表面進行度量以后，用一個“數”表示它的大小，就是該圖形的面積。可見面積的本質是度量，其中包含著兩個問題：用什么面來“積”、積了“幾次”，即所要度量的圖形里含有多少個這樣的面積單位。如果說長度即“度”長，面積則是“積”面。

二、 尋徑——聚焦核心

學生出現面積單位與長度單位、面積計算與周長計算相混淆的錯誤，主要原因在于長度與面積的概念模糊、長度單位與面積單位的概念不清。為此建立初步的概念，是教學的難點。因此，在備課時需緊扣核心問題，精準實施教學。

（一）明確度量對象

度量首先要明確度量的對象。在日常生活中，學生容易先入為主，先看到“體”與“面”，沒能關注到“線”。因為線與面是相依的，少有以“線”狀態存在的物體，所以學生對于圖形關注它們的形狀比較多，而關注和感受周長較少。為此，在教學周長時，讓學生真真切切地看到“線”在哪里，正是我們教學周長的關鍵。如何讓學生由關注面到關注線？如何讓“線”在面上顯性出來呢？應讓學生養成先“描一描”的習慣，讓物體表面或圖形的一周所指的“線”顯性化，久而久之，學生不僅能關注面還能關注到線了。當學生能明明白白地看到面中的線時，再求這些線的總長，便不再是難題。

面積是對二維空間圖形的度量，度量對象是一個確定的面。學生對“面”“大小”都非常熟悉，較周長而言，對于面積倒像是熟悉的陌生人?！缎W數學教材中的大道理》中指出：早在嬰兒階段，人們就已經能夠辨別兩塊餅的大小。把“大小”作為面積，就如同把“長短”作為長度一樣，并沒有實質性的解惑，都是同一個意思的簡單重復，不能幫助學生真正理解面積概念。這里的“大小”不只是有的大些、有的小些，“相差”的意思，還有每個面、每個圖形的大小都是確定的意思，這便是形成面積概念的關鍵。為此，教學時從度量出發，加強直觀感受，在物體表面和平面圖形上抽象出面積的意義，引導學生逐漸體會面積的含義，分層次展開面積意義的教學。

（二）建立標準單位

要度量就必須確定度量單位，對標準單位大小的體驗和建立是一關鍵。單位不僅僅是一個抽象的概念，對它的認識應當通過實踐活動體驗它的實際意義，幫助學生形成常用面積單位的表象，即形成面積單位大小的觀念。

“面”是一個標準，以1平方厘米去積累，1平方厘米就是一個標準，用幾平方厘米去積累，幾平方厘米就是一個標準。教學中，學生通過動手操作，增加對標準單位累加的體驗。充分感悟由于標準不同，積累的次數也不同，感受從不同標準到統一單位的必要。

對標準單位大小的建立，教學不能停留在“知道”的層面，各個面積單位觀念的形成是我們的追求。在教學中，通過設置一些學習活動，讓學生直接感受各個面積單位，并在自己的認知結構中形成清楚的表象。如通過動手制作，親身體驗每一個面積單位的形狀與大小，在頭腦中形成表象。再憑頭腦里的各個面積單位的表象，在身邊的物體上，尋找面積大約1平方厘米或1平方分米的面;用手勢比劃1平方分米的大小;試一試1平方米的正方形里大約可以站多少個同學……通過多樣的形式加強學生對各個面積單位的體驗。

（三）理解計算方法

在過去的長方形的面積教學中，容易把重心放在歸納公式并利用公式來計算圖形面積上，為此在教學中多數是組織學生進行操作、完成表格、觀察發現等活動，進而發現面積與長和寬之間的關系，歸納出長方形、正方形的面積公式，整個過程有動手操作、有思考、有交流。教學一氣呵成，學生既掌握了公式又能加以應用，心中的那份小小成就感便悄然而至?？此祈槙秤謳в徐`動的課堂中似乎少了什么？面積計算公式只是一種快速求面積的辦法，是眾多方法中的優化。學生除了會運用公式計算之外，更需要什么？

新課程在教學平面圖形的面積時則更重視測量。即用面積單位擺一擺度量圖形的大小，進而發現長方形面積計算的一些規律，意義建構面積計算公式。為此，教學中要加強對公式的理解。緊扣問題：你能得到這個長方形的面積嗎？引發學生探究，從“要得到長方形的面積就是要求出這個長方形中含有多少個面積單位”，到發現“每行擺面積單位的個數與行數相乘的積等于長方形包含的面積單位的個數”，再悟出“長包含的長度單位的個數與寬包含的長度單位的個數相乘即是長方形包含的面積單位的個數”，在“數”與“計算”面積的過程中，明白計算長方形的面積是它的長乘寬的道理。明白了公式背后的意義，對學生數學素養的形成至關重要。

三、 通融——類比構建

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性。

“周長”概念對于學生來說是新鮮的，但它實屬“度長”體系。學生在二年級學的長度，度量的是線段（一條且狀態是直直的）。而周長呢，它度量的是一周的線的長，它的條數是不確定的，可能是1條、2條、3條……而且線的狀態也是不確定的，可能是直的，也可能是曲的，但兩者的本質是一樣的都是度長。這樣學生定能恍然大悟，原來已經學過了，只是更復雜一些，對周長的陌生感就少了，自然而然地將新知納入已有的知識體系。

周長與面積它們都屬于度量的范疇，二者大多共同存在于一個圖形之中，形影相隨，易造成認知上的混淆。為了避免學生概念的混淆，老師們的殺手锏便是一組一組的練習，但最終的結果仍是不盡如人意。學習不是簡單的信息積累，更重要的是新舊知識經驗的沖突以及由此而引發的認知結構的重組。筆者認為在學習了面積的相關知識之后，教師要適時引導學生進行類比，幫助學生建構。

度量的核心是：度量對象、度量單位、度量值。為此，學習了面積后適時圍繞以下幾個要素：①度哪里？②用什么度？③怎么度？④如何確定結果？對周長與面積展開思考與交流，通過比較找到它們的聯系與區別，進而發現二者除了圖形的維度不同，作為一種測量其本質是一樣，即包含多少個單位。正如華羅庚先生所說，學習的最高境界就是要學會“把書讀薄了”。

總的來說，對于周長與面積的教學，我們要緊扣概念的本質，從學生的學習難點出發，設計學習活動，讓學生充分體驗與感悟，積累活動經驗，真正理解概念，從而靈活運用知識解決問題。及時引導學生進行類比，深化概念，重組知識結構，注重考查學生對數學本質的理解與合理應用，發展學生的數學素養。

參考文獻：

[1]朱德江.“學”與“導”應著力于學習的“關鍵點”：“認識面積”教學實踐與思考[J].小學數學教師，2016（3）.

[2]小學數學教材中的大道理：核心概念的理解與呈現[J].小學數學教師，2018，348（10）：84.

作者簡介：黃雪梅，福建省建甌市，福建省建甌市教師進修學校。