淺談如何利用幾何畫板助解中考動(dòng)點(diǎn)題

摘 要：幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)及解題中具有靈動(dòng)的優(yōu)越性，為數(shù)學(xué)教師的主導(dǎo)和學(xué)生快捷高效學(xué)習(xí)提供了五彩繽紛的舞臺(tái)。利用幾何畫板來解決動(dòng)點(diǎn)類型的中考題，不僅具有明顯的效果，更能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：幾何畫板;助解;動(dòng)點(diǎn)題;提高能力

本文列舉了初中常見的數(shù)學(xué)思想方法，分析了中考動(dòng)點(diǎn)題，以數(shù)形結(jié)合思想為基礎(chǔ)，將中考動(dòng)點(diǎn)題分為求動(dòng)點(diǎn)的軌跡、求動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)關(guān)系和圖像、求動(dòng)點(diǎn)中的最值問題以及求動(dòng)點(diǎn)的存在性問題等四大類型并利用幾何畫板來分析解題思路，突破了重難點(diǎn)，徹底消除動(dòng)點(diǎn)題的障礙，從而不斷提高數(shù)學(xué)成績(jī)，并能借此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法和創(chuàng)新精神，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維敏捷度和探究、解決問題的能力。

一、 數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法揭示了概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略，是溝通基礎(chǔ)知識(shí)與能力的橋梁，是數(shù)學(xué)的精髓。這一方法在教學(xué)中一定要注重培養(yǎng)，并在解題中不斷提煉，達(dá)到觸類旁通的目的。解中考題常用到的數(shù)學(xué)思想方法有：整體思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等。

其中，數(shù)量關(guān)系和空間形式，即數(shù)和形，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的兩大主要基本內(nèi)容。數(shù)形結(jié)合思想貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材體系之中，它是幾大核心的數(shù)學(xué)思想方法之一。“由數(shù)思形，由形探數(shù)，以形助數(shù)，用數(shù)解形”揭示的就是數(shù)形關(guān)系。在傳統(tǒng)的教學(xué)中，由于各種教學(xué)條件的限制，數(shù)和形極難靈活完美地結(jié)合，特別是某些隱藏在變動(dòng)圖形之中的數(shù)或形很難挖掘出來，但利用幾何畫板卻是輕而易舉。所以幾何畫板可以將數(shù)形結(jié)合表現(xiàn)得淋漓盡致，幾近完美。

二、 題型特點(diǎn)

以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究圖形變化規(guī)律的試題稱為動(dòng)態(tài)題，是探究在圖形的運(yùn)動(dòng)中，出現(xiàn)某一特定圖形位置或運(yùn)動(dòng)中所形成的圖形、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題。其中每一年各省市的中考題中，動(dòng)態(tài)題中的動(dòng)點(diǎn)類型的試題居多。因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)題靈活多變，動(dòng)靜相融，命題的設(shè)置常帶有開放性、不變性、操作性和探究性，動(dòng)點(diǎn)題能較好地融合分類討論、數(shù)與形、轉(zhuǎn)換與化歸、方程與函數(shù)等數(shù)學(xué)思想，還能與代數(shù)中的不等式、三角函數(shù)知識(shí)，幾何中的三角形、四邊形、圓、圖形的全等和相似等相結(jié)合，綜合性和靈活性比較強(qiáng)，能深刻地考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握及解決問題的能力，所以這也是中考中較難的一類題。但對(duì)于此類題，許多學(xué)生感覺到無從下手，找不出那些不變的量以及變量，變量又是如何變化的。

三、 助解探究

下面我就結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，列舉利用幾何畫板助解中考題中的動(dòng)點(diǎn)題。從中體會(huì)幾何畫板在解動(dòng)點(diǎn)題中的作用。

（一）追蹤點(diǎn)的軌跡

在初中階段，動(dòng)點(diǎn)的軌跡主要有直線段、直線、三角形、四邊形、圓弧、圓等。

例1 如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=3，點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，作點(diǎn)A關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)A1，連接A1C，設(shè)點(diǎn)A1C的中點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為??? 。

思路分析：根據(jù)題意用幾何畫板作出圖形，設(shè)置了追蹤點(diǎn)A1和點(diǎn)Q，拖動(dòng)點(diǎn)P沿AD滑動(dòng)，即可顯示出點(diǎn)A1和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑（如圖2），從而可進(jìn)一步解得點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為33π。

（二）動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)關(guān)系和圖像

點(diǎn)變動(dòng)，線、面隨之改變，但中考中考查的卻是有規(guī)律地變化，而且是涉及兩個(gè)變量的數(shù)量關(guān)系的變化，它們主要對(duì)應(yīng)著一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)。

例2 如圖3，已知矩形ABCD的長(zhǎng)AB為5，寬BC為4，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE⊥EF，EF交CD于點(diǎn)F。設(shè)BE=x，CF=y，則點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，能表示y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖像是（? ）

思路分析：（1）圖中點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，△ABE與△ECF有什么關(guān)系？（2）根據(jù)分析先畫出函數(shù)的大致圖像，然后借助幾何畫板的演示，拖動(dòng)點(diǎn)E可以觀察到x和y的變化，由△ABE∽△ECF得，yx=4-x5，由此可知A正確。

（三）動(dòng)點(diǎn)問題的最值

這種類型的問題，一般是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某個(gè)特定位置時(shí)，線、角、面能取到最大值或最小值。借助幾何畫板能夠使學(xué)生快速找到并求得最值。

例3 如圖4，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與AC，BC分別相交于點(diǎn)P，Q，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是（? ）

A. 4.8

B. 4.75

C. 5

D. 6

思路分析：此題中，動(dòng)圓的圓心、半徑都不確定，學(xué)生完成此題的難度較大，但借助幾何畫板，就可以很輕松解決這道題了（如圖5）。∠C=??? ，因此PQ為圓的直徑，那么PQ=CO+OF，拖動(dòng)點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)OF在CD（AB邊上的高）上時(shí)，圓的半徑最小。此時(shí)PQ的最小值是4.8，A正確。

例4 如圖6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，M是BC的中點(diǎn)，P是A′B′的中點(diǎn)，連接PM，若BC=2，∠BAC=30°，則線段PM的最大值是（? ）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

思路分析：在幾何畫板中設(shè)置了跟蹤點(diǎn)P的軌跡，拖動(dòng)點(diǎn)A′，即可直觀地察看出，當(dāng)PM在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，取得最大值，同時(shí)也清楚地觀察到各量的變與不變及大小關(guān)系（如圖7），從而易知B正確。

（四）存在性問題

在動(dòng)點(diǎn)中，要求是否存在某一動(dòng)點(diǎn)，使得一個(gè)數(shù)量關(guān)系式成立或圖形符合要求，這種類型的中考題在這里稱為存在性問題。這種題往往作為中考的壓軸題。

例5 （2017·賀州）如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（-4，0），拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D。

（1）求拋物線的解析式;

（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段FE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo);

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由。

思路分析：（1）由A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)和△ABC為等腰直角三角形可以確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得拋物線的解析式y(tǒng)=-x2-2x+3;（2）度量EF并拖動(dòng)點(diǎn)E帶動(dòng)直線EF（如圖9），可以觀察出EF何時(shí)取得最大值，并讓學(xué)生感受在數(shù)形結(jié)合下體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模。從數(shù)量上分析，設(shè)點(diǎn)F（x，-x2-2x+3），則E（x，x-1）（點(diǎn)E是EF與yAB=x-1的交點(diǎn)），所以EF=-x2-2x+3-（x-1）=-x2-3x+4=-x+322+254;（3）在EF最大處，拖動(dòng)點(diǎn)P，從而改變點(diǎn)P的位置，使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)點(diǎn)P的存在性（P、P1、P2的位置，如圖10）。

四、 助解作用

1. 不借助教學(xué)軟件，教師用筆、直尺、三角板等工具在黑板畫圖形來講解中考動(dòng)點(diǎn)題，不僅耗時(shí)費(fèi)力，學(xué)生如果沒有非常強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維的話，必定難以理解，而且效率低下，與科技信息時(shí)代的方便快捷高效等特征極不相稱，不利于數(shù)形結(jié)合等思想的培養(yǎng)。而幾何畫板，備課時(shí)做好動(dòng)點(diǎn)變化圖形后，上課便可將動(dòng)點(diǎn)的變化過程表現(xiàn)出來，學(xué)生就會(huì)直觀地觀察到圖形運(yùn)動(dòng)的過程，為學(xué)生提供一個(gè)方便快捷又高效的探究舞臺(tái)，將原來很復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，簡(jiǎn)化了解題過程，提高了學(xué)習(xí)效率。

2. 對(duì)于動(dòng)點(diǎn)題，學(xué)生百思不得其解，思維不能突破時(shí)，利用幾何畫板動(dòng)點(diǎn)演示，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)哪些是變量和不變的量，變量又是如何變化的，從而去探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律，抓住不變的實(shí)質(zhì)，突破動(dòng)點(diǎn)問題的難點(diǎn)，巧妙地解出來。因此，往往能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)的信心。

3. 學(xué)生通過動(dòng)手演示，動(dòng)畫變形，不斷地探索，不僅培養(yǎng)了學(xué)生敏捷的思維，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索研究、動(dòng)手操作實(shí)踐的能力，也能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，不斷提高學(xué)生解決問題的能力。

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作者簡(jiǎn)介：岑家海，廣西壯族自治區(qū)賀州市，廣西賀州市八步區(qū)大寧鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)。