運用類比法巧解立體幾何題

蔣慧玲

【摘要】? 作為關鍵性思維方法之一，類比法被很廣泛地運用在高中數學中。在高中立體幾何中，涉及很多通過延伸、拓廣平面幾何的內容。通過利用類比技術，可以進一步認知空間圖形，利用平面圖形領域的解題思路及相關啟發，來另辟一種解決空間圖形問題的思路。因此，在解答立體幾何題目時，應多多考慮通過類比法，來有效簡化并順利解答。基于此，本文從高中數學出發，概述了類比法，并且探討了這種方法用于巧解數學立體幾何題的措施，僅供參考。

【關鍵詞】? 立體幾何 類比法 邏輯推理

【中圖分類號】? G633.6? ? ? ? ? ? ?【文獻標識碼】? A ? ? 【文章編號】? 1992-7711（2020）15-155-01

作為極具創新性的一種邏輯推理手段以及深入探索的工具，類比法僅憑極少數的知識與熟悉的個別對象，能夠準確探測并且推移延伸至未知領域的陌生對象。在類比推理的過程中，一般會從幾個相關對象間的某些類似或者相同點出發，來推理得知它們在別的有關方面可能一致的邏輯思維法之一。所以，在立體幾何的課堂上，應積極引導高中生熟練運用數學類比法來探究、解決問題，并且明確多個對象間存在的類比關系，以幫助高中生提升學習效率。

一、類比法概述

在新世紀下，面臨素質教育的環境，高中數學教學領域也應認真思考如何快速改革的問題。所以，在平時的教學過程中，必須及時轉變自身的教育理念，創新改革人才培養的具體模式，以幫助廣大高中生進一步增強能力。

目前，數學思想指的是在研究數學的過程中，處理問題的一些根本基礎觀點及想法，屬于理性認知數學規律的內容，而數學方法則指的是研習數學的一種技術方法方式。通過數學思想，能體現出數學的本質所在，屬于數學之精髓所在。唯有靈活運用各種數學思想，方才可轉化數學的基礎知識及技能，來形成分析、解決數學問題的技能，并且增強數學素質。所以，在當前的數學教學中，應尤其注重數學思想的有效滲透及推廣應用。

作為關鍵性數學思想之一，類比思想指的是通過一類事物的某種屬性，來推理、猜測與之相似的事物也具備這樣屬性的推理方法之一。作為從特殊至特殊的一種推理方法，類比法的結論存在一定的或然性，究竟正確否必須通過嚴格的檢驗或實踐證明。

作為思維極其活躍的一門學科，立體幾何中存在大量的定理、公式，可以用于啟發高中生展開創新思維。而通過類比思想，剛好能打破立體幾何中的重難點內容，有效培養高中生的積極探索精神與自主創新意識。

此外，從平面幾何發展至立體幾何，其實就是高中生從二維平面一直在三維空間發生質的認知轉變。針對平面幾何中的一些結論及手段方法，均可以在立體幾何中加以類比。譬如，從直線至平面、從直線交角至兩平面角、從平行線至平行平面、從圓至球等。因此，在立體幾何中，必須一直都注重類比法。

二、運用類比法來巧妙解決立體幾何題

1.類比正三角形與正四面體的中心

已知，在相同球面上，存在點A，B，C，D，并且每兩點之間均間隔2，那么球心與BCD平面之間的距離是（? ? ）

A.? ? ? ? ? B.? ? ? ?C.? ? ? ?D.

分析：針對這個題目，可以這樣直接進行運算：如圖，作AH⊥BCD平面，并且相較于點H。通過對稱性知，ABCD四面體外接球里面的球心（也就是外心） O位于AH上面，并且BO=AO=半徑R，BH2+ OH2= OB2，得出線段OH的長，也就是點D與BCD平面之間的距離。很明顯，這樣的解題過程顯得十分冗長，并不可取。

根據平面幾何領域的知識，知在正△中，邊長a與高h之間的關系有：h=，O中心至四面體邊的距離r=.而在ABCD中，從外心一直到底面的距離為r=.如果可以考慮類比法，并且記下以上兩個數據，就能更快地解題。

2.對稱類比法的應用

在二面角α-l-β里面，存在點P，且二面角為60°。在題目中，已知點P與α、β之間的距離依次是1、2。請在α上面找點A、在β上面找點B，并且迫使AB+PA+ PB具有最小的值，并算得具體的最小值大小。

分析：直接找點A、點B，有一定的困難度。而在平面幾何中，通過對稱法就能得出線段的最小和：已知在直線l同旁，存在點A、點B，試著在l上面，找到點P，得出PA+PB的最小值。就此，可以將平面α、平面β比作l，就能充分明確解題思路。

解：取點P與α、β之間的對稱點P′、對稱點P"，連接P′P"，假設P′P" 與平面α交于點A，與平面β交于B，

PA+AB+PB=P′A+AB+P"B=P′P"

==2，

所以，最小值就是2.

3.類比三角形面積和三棱錐體積的方法

如圖所示，在一個S-ABC三棱錐中有盛水，但是在3條側棱上面，分別存在有一個小小的洞，也即點D，點E，點F，并且SE：EB=SD：DA=CF：FS=2：I.如果還是通過這個容器來繼續盛水，那究竟最多可以盛的水占原來多大的比例（? ?）

A.? ? ? ? ? ?B.? ? ? ? C.? ? ? ?D.

分析：在以前學習的平面幾何當中，存在有=的關系。以此為基礎，推想可知在立體幾何當中，究竟是否有=的關系。通過一番類比，知僅僅過點F，點C依次作SDE平面、SAB平面的高，就能發現并且證明存在有這種關系，也就是≈=.

答案：B.

三、結語

綜上所述，在高中數學中，常常涉及到很多類比關系的內容。作為經常使用的數學思維方法之一，類比法的正確使用，能夠起到化繁為簡的作用，從而幫助高中生快速理清題意、更加輕松地解答立體幾何問題。所以，在立體幾何的日常教學中，數學老師必須引導高中生正確使用幾何類比法，來明辨基本的幾何概念，熟練記憶基本定理，并且巧妙地解答立體幾何題，進一步增強空間想象與創新思考能力，以促進基礎教育事業的進一步發展。

[ 參? 考? 文? 獻 ]

[1]王偉霞.類比在高中數學教學中的應用[D].河南大學，2015.

[2]向往.基于類比遷移理論的空間向量教學研究[D].湖南師范大學，2019.