課，在“化歸”中行走

徐曦霞

【摘要】課程教材研究所王永春教授指出：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的生命和靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓。“比賽場(chǎng)次”是教材中具體落實(shí)“從簡(jiǎn)單情形入手尋找規(guī)律”解決問題策略的載體，借助它可以積累解決問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，再與前后的學(xué)習(xí)對(duì)比溝通，形成較完善的“化歸”的數(shù)學(xué)思想方法。

【關(guān)鍵詞】化歸；簡(jiǎn)單情形；基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

六年級(jí)的“比賽場(chǎng)次”一課主要圍繞“化歸”數(shù)學(xué)思想，具體化落實(shí)在每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)之中，能使學(xué)生深切體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值，能使學(xué)生在日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自覺運(yùn)用。教師力求將“化歸”數(shù)學(xué)思想與知識(shí)教學(xué)結(jié)合起來，滲透在課堂教學(xué)中，使課堂流露出濃濃的數(shù)學(xué)味。

案例片段1：新知探究部分

一、借助教材回顧畫圖與列表的方法

如果有10位同學(xué)參加比賽，每?jī)擅瑢W(xué)之間要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，一共要比幾場(chǎng)？三年級(jí)我們學(xué)過“4個(gè)隊(duì)伍進(jìn)行比賽需要比幾場(chǎng)”，認(rèn)識(shí)了畫圖法和列表法。（回顧方法）

二、利用列表或畫圖的方式尋找規(guī)律

1.學(xué)生獨(dú)立思考、探索，教師巡視；

2.小組交流；

3.全班匯報(bào)。

4.方法間的聯(lián)系：你們能在其他方法中也找到這個(gè)規(guī)律嗎？

5.計(jì)算結(jié)果：10人進(jìn)行乒乓球比賽，需要進(jìn)行幾場(chǎng)？列式計(jì)算。

歸納方法：復(fù)雜的問題可以從簡(jiǎn)單的情形開始尋找規(guī)律

研課思考：上課時(shí)，多數(shù)學(xué)生無法按照設(shè)計(jì)意圖，從簡(jiǎn)單情形入手去思考問題。都是根據(jù)教師給定的作業(yè)單，認(rèn)為填滿就完成任務(wù)，然后再思考規(guī)律。冷靜思考后，一看到“10人單循環(huán)賽，一共要比幾場(chǎng)”的問題，自然就是“刷刷刷”地羅列出1、2、3、4、5、6、7、8、9、10號(hào)，一個(gè)不少地，連線、列表，數(shù)出結(jié)果，或者列出算式1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，再就是10乘（10-1）÷2=45……總之，體現(xiàn)的是“從結(jié)果尋找結(jié)果”的思維方式。如何顛覆這種慣性思維，體現(xiàn)從簡(jiǎn)單情形入手？我們應(yīng)這樣思考：

1.簡(jiǎn)單情形具體是什么樣的？在這里，最簡(jiǎn)單的情形是什么情形？

2.如何從最簡(jiǎn)單的情形開始，一步一步研究，直到得出規(guī)律？

3.怎樣讓孩子體驗(yàn)這個(gè)看似做無用功的過程？并樂意去探索？

打破思維定勢(shì)，從頭開始！

團(tuán)隊(duì)研討后，決定改變：從關(guān)注結(jié)果的表現(xiàn)形式，調(diào)整為關(guān)注發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程。不去關(guān)注結(jié)果，而是關(guān)注最簡(jiǎn)單的情形———從“兩個(gè)選手”開始，逐步增加3號(hào)選手，研究這時(shí)的情形，再增加4號(hào)選手，研究目前的情形……直到從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決10個(gè)選手，乃至100個(gè)、1000個(gè)選手的問題。將“10個(gè)選手單循環(huán)賽一共要比幾場(chǎng)”這樣復(fù)雜的問題，用“化歸”的數(shù)學(xué)思想，通過畫圖、列表，從簡(jiǎn)單情形入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后解決復(fù)雜問題。因?yàn)椤盎瘹w”既是一般化的數(shù)學(xué)思想方法，具有普遍的意義；也是攻克各種復(fù)雜問題的法寶之一，有重要的意義和作用。

調(diào)整一：化復(fù)雜為簡(jiǎn)單

有些數(shù)學(xué)問題比較復(fù)雜，直接解答過程會(huì)比較繁瑣，如果在結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系相似的情況下，從簡(jiǎn)單的情形入手，找到解決問題的方法或建立模型，可以化繁為簡(jiǎn)，尋求一些規(guī)律、技巧和捷徑，實(shí)為一種上策。

案例片段2：調(diào)整后新課開始探索部分

三、利用列表或畫圖的方式尋找規(guī)律

（一）從簡(jiǎn)單情形開始研究

師：最簡(jiǎn)單的情形就是2個(gè)選手，我們從2個(gè)選手開始研究，再研究3個(gè)選手、4個(gè)選手，這樣依次考慮。

（二）逐步畫出示意圖并寫出算式

師：示意圖可以是列表，也可以是畫圖。我們?cè)撊绾螐暮?jiǎn)單的情形逐步畫出示意圖，并寫出算式呢？

（課件出示）舉個(gè)例子，在列表法中，可以先填寫1號(hào)選手，不能比；再添2號(hào)選手，打一個(gè)√，馬上把圖形信息轉(zhuǎn)化成數(shù)字信息，2個(gè)選手比1場(chǎng)；再添3號(hào)選手，在原有基礎(chǔ)上再增加兩個(gè)√，因此3個(gè)選手，比1+2=3場(chǎng)。

在畫圖法中也是如此，畫一個(gè)，寫一個(gè)，畫一個(gè)，寫一個(gè)，你能像這樣接著往下考慮嗎？

師：在畫的過程中要仔細(xì)觀察算式，當(dāng)你發(fā)現(xiàn)了規(guī)律就可以停止往下畫圖。

（三）觀察算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

學(xué)生獨(dú)立思考，尋找規(guī)律，教師巡視。研課思考：展現(xiàn)探索規(guī)律的過程，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下體驗(yàn)表格、畫圖的形成過程，從最簡(jiǎn)單的情形1個(gè)選手、2個(gè)選手、3個(gè)選手開始，一步一步研究，并及時(shí)將圖與式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在此基礎(chǔ)上研究4個(gè)選手、5個(gè)選手的情形，基本上能在活動(dòng)中自覺發(fā)現(xiàn)規(guī)律，達(dá)成預(yù)設(shè)目標(biāo)。讓學(xué)生明白帶著思考去列表、去畫圖，而不僅是將作業(yè)單填滿，更重要的是發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。在研課過程中，決定舍棄規(guī)律3（比賽場(chǎng)數(shù)=（n-1）×n÷2）的發(fā)現(xiàn)，因?yàn)榭紤]到受益面的問題，認(rèn)為這高于多數(shù)學(xué)生的理解水平，不利于全體學(xué)生的學(xué)習(xí)。調(diào)整為大量的時(shí)間用來細(xì)化感悟過程，讓學(xué)生充分感受“如何從簡(jiǎn)單情形入手”“如何展示表格”“圖畫的形成過程”“如何在算式中發(fā)現(xiàn)規(guī)律”。

調(diào)整二：化陌生為熟悉

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，就是一個(gè)不斷面對(duì)新知識(shí)的過程；解決疑難問題的過程，也是一個(gè)面對(duì)陌生問題的過程。從某種程度上說，這種轉(zhuǎn)化過程對(duì)學(xué)生來說既是一個(gè)探索的過程，又是一個(gè)創(chuàng)新的過程；與課程標(biāo)準(zhǔn)提倡培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神是一致的。因此，在教學(xué)中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，是一個(gè)比較重要的原則。

案例片段3：新知學(xué)習(xí)前的回顧，課堂總結(jié)后的延伸環(huán)節(jié)一：制造矛盾沖突，引出尋找規(guī)律的策略

師：要解決10人單循環(huán)賽，你準(zhǔn)備用什么方法呢？生：畫圖、列表

師：要數(shù)出一共要比賽多少場(chǎng)？容易數(shù)嗎？（不容易、很麻煩、很慢……）

師：我們想象一下，如果是100人、1000人？（更不容易、更麻煩、數(shù)不清）

師：那要怎么辦？

環(huán)節(jié)二：課末總結(jié)延伸

師：我們從簡(jiǎn)單情形入手，借助畫圖與列表，尋找到規(guī)律，從而解決復(fù)雜問題。其實(shí)這種化難為易的做法早就進(jìn)入了我們的學(xué)習(xí)生活。我們一起來看一看！

師：在五年級(jí)上學(xué)期所學(xué)的圖形的規(guī)律問題中，我們要解決“擺10個(gè)三角形，需要多少根小棒”這樣復(fù)雜的問題，我們也是從1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)這種簡(jiǎn)單的情形入手，尋找規(guī)律。還有雞兔同籠問題，也是從簡(jiǎn)單情形入手，點(diǎn)陣中的規(guī)律問題也是從簡(jiǎn)單情形入手，像這樣的問題還有許多許多……

在今后的學(xué)習(xí)中，如果再遇到這樣復(fù)雜的問題，我們可以怎么做呢？

生：從簡(jiǎn)單情形入手。

研課思考：站在畢業(yè)班的高度，幫助學(xué)生梳理數(shù)學(xué)思想方法：從三年級(jí)4支球隊(duì)的比賽場(chǎng)次的學(xué)習(xí)—六年級(jí)10人單循環(huán)賽的比賽場(chǎng)次問題—五年級(jí)圖形中的規(guī)律、雞兔同籠、點(diǎn)陣中的規(guī)律—后續(xù)運(yùn)用。兩個(gè)小環(huán)節(jié)，使本課的學(xué)習(xí)有了“前世今生”。環(huán)節(jié)一從回顧以前相關(guān)的舊知開始，復(fù)習(xí)所用的畫圖、列表等解決問題的方法，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行提升、簡(jiǎn)化，喚醒學(xué)生的認(rèn)知，幫助學(xué)生找到解決新的問題的方向，然后出示完整的圖、表，讓學(xué)生觀察后覺得“太麻煩了”，當(dāng)人數(shù)更多時(shí)“不可想象”，體驗(yàn)到列表、畫圖的局限性，進(jìn)而產(chǎn)生學(xué)習(xí)新方法———尋找規(guī)律的必要性。環(huán)節(jié)二，在學(xué)完新知之后，有了“化難為易”的充分感受之后，再回頭去看之前的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)其實(shí)這種“化歸”的數(shù)學(xué)思想一直“隱身”在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中，今天的學(xué)習(xí)使之明朗化、清晰化，真是“撥開云霧見天日、守得云開見月明”，可為以后解決新的、復(fù)雜的問題提供方向，課后能夠自動(dòng)遷移到一些從未遇到的數(shù)學(xué)問題。課后可運(yùn)用到的具體情形，如：

2.把186拆分成兩個(gè)自然數(shù)的和，怎樣拆分才能使拆分后的兩個(gè)自然數(shù)的乘積最大？187呢？

3.一層樓有10個(gè)臺(tái)階，一次只能上1個(gè)或者2個(gè)臺(tái)階，一共有多少種不同走法？

研課感悟：整個(gè)研課過程下來，團(tuán)隊(duì)中每個(gè)人都是收獲多多，有過迷茫，有過困惑，有過激烈爭(zhēng)論，有過茅塞頓開，留下思考無數(shù)。如何把握教材的脈搏？如何幫助學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？如何喚醒學(xué)生的相關(guān)記憶？……有些問題已經(jīng)解決了，有些問題還沒有最佳的答案。

因?yàn)椋瑢?duì)于課堂，我們一直在路上，從未止步！

（福建省泉州市鯉城區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建泉州362000）