探究轉化模型　解法自然生成

摘 要：在數學教學中，例題、習題的教學是學生建構知識的重要平臺.數學教育家喬治·波利亞指出：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練.”因此如何充分發揮每道例題的功能，達到數學教學的目標，是擺在每一位教師面前的一個重要課題.本文從一道典型例題出發，探討求三角形中線段長度的方法，通過對各種解法的梳理、比較、優化、拓展和延伸，尋找其內在的聯系和規律.

關鍵詞：解題教學;教育價值;解法探究

作者簡介：齊欣（1976-），男，山東臨清人，本科，中學高級教師，研究方向：初中數學教學.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在第三學段（7～9年級）的“學段目標”中提出：經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法.中考填空壓軸題經過命題者精心設計，典型性是不言而喻的，能否探究挖掘例題的思維價值，充分發揮例題的輻射作用，使之有效服務于數學教學，提高數學教學效率，體現了一名數學教師的基本素養.

1 試題呈現

題目 （2015年上海中考第18題）已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，將△ABC繞點A旋轉，使點B落在原△ABC的點C處，此時點C落在點D處，延長線段AD，交原△ABC的邊BC的延長線于點E，那么線段DE的長等于多少？

2 教育價值分析

2.1 培養思維能力

本題用到解直角三角形、相似、勾股定理、等腰三角形性質、旋轉的性質及一元一次方程、一元二次方程、分式方程、方程組、二次根式化簡等知識，應用旋轉變換的基礎知識，畫圖分析問題、解決問題的能力，探究轉化能力，建立有效數學模型的能力.這正是選擇本題作為例題的意圖.圖形變換能很好地促進和發展學生的空間想象能力、邏輯思維能力[1].例題涵蓋知識面廣、解法多，有較大的探索空間，有利于學生探究及思維能力的培養.從不同的思維角度分析解答同一道題目，得到不同的解題方法.這種一題多解的訓練，在教學中經常用到，它有利于培養學生的發散思維能力，增加題目涉及的知識廣度，提高課堂教學效率.另外，對不同的解法進行比較，引導學生進行評價，能讓他們更好地優化解題思路，總結解題規律，是一種聚合思維的訓練.

2.2 體會轉化思想

探究三角形中線段長度的求解方法，明確問題轉化的方向，通過探究轉化模型，優化解題方法，培養學生的思維能力和品質是教學的主要目標[2].為了更好地滲透“數形結合、轉化”的數學思想和體現例題的輻射作用，訓練學生的思維能力，提煉解題模塊和基本圖形，生成了7個轉化模型.轉化思想一方面體現在解題的具體操作過程中，更重要的是例題的不同解法表明：探究以上思路的可行性，更好地通過解題體會知識之間的轉化過程，發現知識的相互聯系，理清知識脈絡，構建網絡體系.

3 解法探究

3.1 “垂線”轉化

解法9～14似乎將簡單的問題復雜化了，但是，這樣的思維卻能使我們的探索更加深入.縱觀添加了輔助線的各種解法，作垂線轉化是共同之處，促進了知識的融會貫通.

5 結語

根據教學目標和知識特征，結合具體學情，采用適當的教學方法，有目的性、有針對性、有選擇性、收放自如地引導學生學習，激發學生的求知欲，教給學生探究的方法和策略，培養科學的探究精神.在學習基礎知識、掌握基本技能的同時，對基本的數學思想方法逐步深化認識，積累良好的基本活動經驗.這就是對例題的教育價值進行的分析.是教師的真功夫，以便站在一定的高度上弄清例題的解法，把握編者或命題者的意圖，使教學更加游刃有余[3].

這樣做，從數學知識的角度來看，打通了知識之間的聯系，形成良好的知識網絡體系;從思想方法的角度來看，滲透了通過添加輔助線來轉化思想方法;從問題的解決過程來看，加強了三角函數、勾股定理、三角形相似、圖形面積之間的聯系，鞏固了一元二次方程、比例、分式方程、二次根式化簡等知識，提高了運算能力.更重要的是提煉解題規律，積累解題模塊和數學思想方法，使學生對解決同類問題有思路和方法可循.

初中數學的教學實踐證明，例題教學的目的一定是積累解決問題的方法和解題經驗，既能夯實基礎知識，又能讓學生感悟基本數學思想方法，積累基本解題活動經驗及解題模塊.探究轉化模型的教學達到了讓學生尋找聯系、展開探究、激活思維的目的.數學的教學特別要重視提煉數學模型，積累解題模塊，讓學生學會以整體、聯系、動態的觀點進行思考，使零碎、隱性的解題經驗顯性化、系統化.

在解題教學中通過挖掘例題潛在的思維價值，激活學生思維，主動探究解決問題的方法并積累解題經驗，這不就是數學教師追求的永恒主題嗎？

參考文獻：

[1]張春英.近五年上海中考第18題引發的教學思考[J].上海中學數學， 2015（Z1）：22-23.

[2]齊欣.一題多變 貴在轉化[J].福建中學數學， 2009（02）：44.

[3]張振興.一題多解，探尋教材例題的教學價值[J].中國數學教育，2012（23）：41-44.

（收稿日期：2020-12-19）