點幾何理論與GeoGebra實踐①

張志勇 羅建宇

(1.江蘇省常州市第五中學213001；江蘇省張家港市沙洲中學215600)

我們知道，解析幾何是用代數方法研究幾何問題，思路清晰有章可循，但代數方法在計算過程中很難看出幾何意義，于是為尋求能夠更直接處理幾何問題的代數方法，數學家們開辟了“幾何代數”領域．張景中先生等建構的“點幾何”理論，用簡明的概念、平常的符號和代數運算的形式描述幾何對象之間的關系，不僅符合數學直觀，也能更方便地表達基本幾何事實，而且有助于幾何推理的簡捷化[1][2]．GeoGebra作為一款“專為教與學的動態數學軟件”，內嵌有計算代數系統和指令輸入方式，可對幾何對象進行直接代數化處理，從而實現“形”(幾何Geometry)與“數”(代數Algebra)的完美融合．巧合的是，GeoGebra的很多指令規則與點幾何理論完全一致，可以說GeoGebra就是點幾何理論的一個實踐場．應用點幾何理論于GeoGebra實踐中，既是對理論的支持驗證，也有助于軟件的理解把握．

1 點的線性運算

點幾何中定義了“點加點”和“數乘點”，即A+B=(xA+xB,yA+yB)、λA=(λxA,λyA)；以此為基礎，推導出兩點線性組合uA+vB=tP的意義和uA+vB=rC+sD的表示，特別地，直線上任意一點都可以表示成P=tA+(1-t)B，△ABC平面上任意點P=xA+yB+(1-x-y)C．

GeoGebra支持點的線性運算．如圖1，在指令輸入框中輸入“A+B”、“-2A”，得到D、E兩點；輸入“(A+B)/2”、“(A+B+C)/3”，得到線段AB的中點F和三角形ABC的重心G；輸入“B-A+C”，可構造平行四邊形ABHC的第四個頂點H．值得說明的是，GeoGebra有很好的幫助功能，如查看代數區中的坐標，可以發現D=(xA+xB,yA+yB)、E=(-2xA,-2yA)；而圖1右側的作圖過程，可查看每一個點的屬性；另外A、B、C為給定的初始點．

圖1

擴展開去，可通過語句“P=x*A+y*B+(1-x-y)*C”的輸入，來構造△ABC平面上任意一點P；……