自適應尺度的局部強度聚類圖像分割模型*

趙仁和，王軍鋒

(西安理工大學理學院， 陜西 西安 710054)

1 引言

圖像分割是根據圖像的特征信息將圖像分成若干特定區域的過程。作為預處理步驟，圖像分割在許多計算機視覺應用中起著重要的作用，例如物體識別、視頻監控和醫學圖像分析等。迄今為止，研究人員已經提出了各種各樣的圖像分割方法。近年來，基于偏微分方程的圖像分割模型，特別是與水平集方法[1,2]相結合的圖像分割模型開始流行，該模型最初來源于Kass等人[3]提出的活動輪廓模型或稱為蛇模型。活動輪廓模型的基本思想是將圖像分割問題歸結為極小化一個封閉曲線的能量泛函，然后通過變分法[4]使位于目標附近的初始曲線不斷地朝著目標的輪廓處移動，最終停止在真正的目標輪廓處。

現有活動輪廓模型基本可以分為基于邊緣的模型和基于區域的模型2種。基于邊緣的模型[5]通常使用圖像的局部梯度信息來驅使零水平集輪廓朝對象的邊界移動，這對于一些具有清晰邊界的圖像特別有效。然而，這類模型通常對噪聲和初始輪廓敏感，對于具有較小梯度值的弱邊界也容易發生邊緣泄漏。基于區域的模型[5 - 8]利用圖像統計信息來推動活動輪廓覆蓋對象邊界，它們利用區域圖像信息來驅動水平集演化，可以分割具有弱邊界甚至沒有邊界的圖像。例如，CV(Chan-Vese)模型[9]根據圖像的全局灰度均值信息推動曲線演化，其對噪聲圖像和具有弱邊界的圖像具有良好的分割效果，但是CV模型無法分割強度不均勻圖像。為了解決該問題，Li等人[10]提出了基于圖像局部信息的LBF(Local Binary Fitting)模型，LBF模型可以有效分割強度不均勻圖像，但局部信息的引入也帶來了模型對初始輪廓敏感等問題。隨后Li等人[11]提出了一種新的基于區域的圖像分割模型——局部強度聚類LIC(Local Intensity Clustering)，LIC模型對強度不均勻圖像進行建模，利用圖像的局部強度聚類特性，可以在分割圖像的同時估計偏移場。然而LBF模型和LIC模型均對尺度參數和噪聲敏感。

為了更好地解決上述文獻中模型對初始輪廓和尺度參數敏感的問題，本文提出了一種自適應尺度的活動輪廓模型，用于分割圖像和估計偏移場。在迭代過程中，根據局部圖像熵計算合適的尺度參數，避免了因尺度參數固定而造成的分割誤差，提高了模型的精確性和穩定性。

2 相關模型

2.1 LBF模型

為了解決由圖像強度不均勻導致的分割失敗問題，Li等人提出了局部二元擬合LBF模型，該模型利用了圖像的局部信息，對強度不均勻圖像具有良好的分割效果，其能量函數定義為：

(1)

其中,λ1,λ2,μ和ν為固定的正常數，x,y是圖像中的點,I(y)是輸入圖像，f1,f2是曲線C內部和外部的局部強度均值的最佳近似。Kσ是一個截斷高斯核函數，σ是高斯函數的標準差，也稱為尺度參數。H(·)為Heaviside函數的正則化形式，定義為：

(2)

其中ε是一個常數，用于控制Heaviside函數從0上升到1的快慢。Hε(x)的導數形式定義為：

2.2 LIC模型

為了處理強度不均勻圖像，Li等人在文獻[11]中提出了基于區域的局部強度聚類(LIC)模型。LIC模型基于偏移場b緩慢且平滑地變化的假設，將真實圖像在不相交區域Ω1和Ω2的強度值近似為常數c1和c2。其局部強度聚類函數定義為：

(3)

其中，Kσ(x-y)和Hε的定義與式(1)的相同，c是由ci組成的向量。LIC模型可以有效分割強度不均勻圖像并估計偏移場。

3 自適應尺度的局部強度聚類模型

在圖像分割中，LBF和LIC模型中的尺度參數均對分割結果起著至關重要的作用。本文提出了一種尺度參數自適應的局部強度聚類模型，用于分割強度不均勻圖像并同時估計偏移場。

3.1 自適應尺度參數

ELoc(x,Oy)=

(4)

圖像在小鄰域Oy內的灰度分布越均勻，對應的圖像局部熵就越大；反之，其圖像局部熵就越小。因此，我們可以根據這一規律來構造一個自適應尺度算子，用來自適應地更新核函數的尺度參數。尺度參數定義為：

(5)

其中,Ein為零水平集輪廓C內部各點的圖像局部熵集合，mean(·)是取均值操作，T是正規化因子。局部鄰域半徑ρ通常設置為ρ=4σ+1。

隨著灰度不均勻程度的增大，尺度參數σ減小，局部鄰域半徑ρ越來越小，這樣可以使模型的分割更加精細；反之，隨著灰度不均勻程度的減小，尺度參數σ增加，局部鄰域半徑ρ越來越大，可以加快分割速度。

3.2 能量函數

通常對于強度不均勻圖像采用如下建模方式：

I(x)=b(x)J(x)+n(x)

(6)

其中,I是輸入圖像，J是真實圖像，n是加性噪聲，b是在整個圖像區域上具有緩慢且平滑變化特性的偏移場。

在圖像Ω上任意給定一個點y∈Ω，以y為中心，考慮一個相對較小的圓形鄰域Oy，定義為Oy{x:|x-y|≤ρ}，其半徑為ρ。假設偏移場具有緩慢變化的特性，圓形鄰域內的所有點的偏移場的值都可以近似為中心點的值b(y)。對于真實圖像的每一個區域Ωi，其強度值都被近似為一個常數ci，因此在每一個子區域Ωi中，若x∈Oy∩Ωi,則b(x)J(x)的強度都可以近似為b(y)ci，即:

b(x)J(x)≈b(y)ci，x∈Oy∩Ωi

(7)

在LIC模型中，偏移場b的平滑性是假設的，為了進一步確保偏移場b的緩慢和平滑變化的性質，Li等人[13]將偏移場b表示為給定的一組平滑基函數G(x)與加權系數矩陣W的線性組合，即:

b(x)=WTG(x)

(8)

對于G(x)的選取，本文采用勒讓德正交多項式，并將其引入到活動輪廓模型中：

b(y)ci=WTG(y)ci,x∈Oy∩Ωi

(9)

根據圖像的局部強度聚類特性，可以使用聚類算法將小鄰域Oy中的強度分為N類，為了計算方便，本文使用標準K-means聚類，聚類中心為WTG(y)ci,i=1,…,N，圖像局部強度聚類函數定義如下：

(10)

將局部強度聚類擴展到整個圖像域Ω上可以得到最終的能量泛函：

(11)

4 模型求解

式(11)中的這種表達式很難得出能量最小化問題的解決方案，因此我們引入水平集函數，通過使用變分法來解決能量最小化問題。本文數值實現以兩相水平集(N=2)為例，多相水平集的情況可同理擴展。

區域Ω1和Ω2可以由如下隸屬函數表示：

(12)

根據式(12)重寫式(11)中的能量函數為：

(13)

交換積分順序可得：

(14)

(15)

其中,μ和ν是正常數，長度項和懲罰項的定義如下所示：

(16)

(17)

(18)

V是一個M維向量：

(19)

然后可以通過式(8)來更新b。

(20)

本文模型實現步驟具體如下所示：

步驟2初始化正交基函數G，計算圖像局部熵。

步驟3開始循環。根據式(5)計算尺度參數。

步驟5若水平集函數收斂或達到最大迭代次數，停止迭代。否則，返回步驟3。

5 實驗結果與分析

本文首先對醫學圖像和自然圖像分別進行分割實驗，通過與CV模型、LBF模型、局部CV模型LCV(Local CV)[15]以及LIC模型進行比較，驗證本文模型具有較高的分割精度。然后通過實驗驗證了本文模型對初始化輪廓和噪聲的魯棒性。實驗環境為Intel Core i5-3470 CPU @ 3.20 GHz，RAM 4.00 GB，64位操作系統，實驗軟件為Matlab R2012b。實驗中的常用默認參數設置為ν=0.001×2552,μ=1,λ1=λ2=1,ε=1,T=3，時間步長Δt=0.1。

本文首先對2幅醫學圖像進行分割實驗，驗證本文模型對強度不均勻圖像的分割精度和對偏移場估計的能力，結果如圖1所示。

Figure 1 Segmentation results and bias field estimation of intensity inhomogeneity images圖1 強度不均勻圖像的分割結果和偏移場估計

從圖1可以看出，本文模型對強度不均勻圖像具有良好的視覺分割效果。對于分割精度的度量，本文采用Jaccard相似度作為評價指標。Jaccard相似度的定義如下所示：

(21)

其中，S1表示模型的分割結果，S2表示該圖像的GroundTruth。Jaccard相似度越接近于1，代表圖像分割算法精度越高。

Figure 2 Segmentation results comparison of 5 images by different models圖2 不同模型對5幅圖像的分割結果比較

圖2選取了5幅圖像進行不同模型的對比實驗，其中3幅為強度不均勻的醫學圖像，2幅為強度均勻的自然圖像，自然圖像的選取來自于BSDS500數據集，初始輪廓位置均取圖像中心方形區域。

由于CV模型和LCV模型引入了全局圖像信息，因此對強度不均勻圖像的分割效果較差，而LBF模型因對水平集初始化位置敏感，也無法完成分割。LIC模型雖然對強度不均勻圖像有著一定的分割效果，但在圖2中的圖像2和圖像3中還是存在一些微小誤分區域，與其他4種模型相比，本文模型對強度不均勻圖像和自然圖像均擁有最好的分割效果。表1列出了各模型對圖2中5幅圖像分割結果的Jaccard相似度，可以看出本文模型的Jaccard相似度最接近于1，這進一步證明了本文模型擁有更高的分割精度。

Table 1 Jaccard similarity obtained by different models表1 不同模型分割得到的Jaccard相似度

圖2中5種不同圖像分割模型的運行時間如表2所示。

由表2可以看出，本文模型利用圖像局部熵自適應地更新尺度參數，極大地加快了曲線的演化速度，使得曲線快速收斂至目標邊緣，與其他4種模型相比，能在保證精度的前提下擁有較快的速度。

Table 2 Runtime of different models表2 不同模型的運行時間 s

以下實驗用于驗證本文模型對水平集函數初始位置和形狀的魯棒性。由圖3可以看出，無論初始化輪廓位置形狀如何，是否包含目標物體，本文模型都能得到相似的分割結果，初始輪廓位置和形狀的不同并不會影響本文模型的分割結果。以Jaccard相似度為標準進行定量分析，圖3中4種不同水平集初始化的分割結果的Jaccard相似度分別為0.988 7, 0.991 6, 0.992 1, 0.987 2，說明本文模型對水平集初始輪廓位置和形狀具有較強的魯棒性。

Figure 3 Robustness verification of initialization position圖3 初始化位置的魯棒性驗證

圖4給出了在原始圖像上加入均值為0、方差為0.01的高斯噪聲圖像，并給出了同等信噪比下各個模型的分割結果。實驗結果表明，本文模型可以有效抑制噪聲點的影響，對噪聲圖像具有很強的魯棒性，與其他模型相比，本文模型的分割效果最好。

Figure 4 Robustness verification for noise圖4 對噪聲的魯棒性驗證

6 結束語

針對圖像分割模型對尺度參數敏感的問題，本文提出了一種自適應尺度參數的局部非均勻強度聚類的圖像分割模型，該模型可以在分割強度不均勻圖像的同時估計偏移場。本文模型充分利用區域活動輪廓模型的特性，根據圖像的局部熵構建自適應尺度算子，在每次迭代過程中自適應更新尺度參數，大大增加了模型的精確性。除此之外，本文還使用給定的一組平滑正交基函數的線性組合來表示偏移場，提高了模型的穩定性。通過實驗表明，本文模型對醫學圖像、人工合成圖像和自然圖像均具有較高精度的分割結果，具有較好的分割效率，且對水平集函數的初始化位置、輪廓和噪聲圖像具有一定魯棒性。