全變分正則化非局部均值地震數(shù)據(jù)降噪*

李曉璐,周亞同,何靜飛,翁麗源,李書華

(1.河北工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300401;2.天津市區(qū)第三煙草專賣局,天津 300131 )

1 引言

地震數(shù)據(jù)降噪對地下結(jié)構(gòu)分析及資源采集有重要意義[1,2]。常見的降噪算法可分為變換域降噪和空域降噪2個類型。

常見的變換域降噪算法有小波變換[3]、曲波變換[4]以及從小波變換發(fā)展起來的高斯混合模型[5]等。在空間域常用的降噪算法有均值濾波[6]、中值濾波[7]和高斯濾波[5]等。Buades等[8]提出了非局部均值算法，以小鄰域?yàn)閱卧M(jìn)行加權(quán)運(yùn)算，利用冗余信息在有效保持結(jié)構(gòu)的同時進(jìn)行噪聲壓制。黃英等[9]用像素值的相似性來代替像素點(diǎn)的空間距離，Chang等[10]使用高斯模型代替非局部均值算法中使用全部相似數(shù)據(jù)塊的加權(quán)平均，實(shí)現(xiàn)了對隨機(jī)噪聲的壓制。

盡管非局部均值算法在降噪方面表現(xiàn)良好,但有可能會選入一些并不相關(guān)的鄰域，造成噪聲斑塊抖動效應(yīng)，邊緣細(xì)節(jié)被過度平滑。針對這一缺點(diǎn)，本文結(jié)合空間域和偏微分方程降噪算法對地震數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪。

偏微分方程降噪可以很好地保持邊緣細(xì)節(jié)，它將降噪轉(zhuǎn)化為偏微分方程求解，且地震數(shù)據(jù)具有可微分性，全變分降噪算法不僅能夠消除地震噪聲，而且可以大面積提高剖面質(zhì)量。本文基于Sutour等[11]的工作并結(jié)合全變分模型可以有效保護(hù)邊緣細(xì)節(jié)的特點(diǎn)，提出了一種全變分正則化非局部均值地震數(shù)據(jù)降噪算法，該算法可以有效去除非局部均值降噪算法帶來的抖動效應(yīng)，并有效保護(hù)細(xì)節(jié)，這對含有豐富的同相軸細(xì)節(jié)的地震數(shù)據(jù)降噪有重要的意義。

2 非局部均值算法簡要回顧

對于大小為M×N且含有加性高斯白噪聲的地震數(shù)據(jù)，在i點(diǎn)的含噪地震數(shù)據(jù)gi的觀測模型為：

gi=ui+ni

(1)

(2)

設(shè)wi,j表示在搜索鄰域中Pi和Pj之間的權(quán)值，0≤wi,j≤1，它等價(jià)為求解式(3)所示的最小化約束問題：

(3)

其中，uNL表示使用非局部均值算法降噪后的結(jié)果，權(quán)值wi,j的表達(dá)式為：

(4)

Zi為點(diǎn)i的歸一化常數(shù)，g(Pi)、g(Pj)均表示鄰域內(nèi)的灰度值，d用于確定2個大小均為|P|的鄰域Pi和Pj的灰度值之間的歐氏距離,距離較遠(yuǎn)的權(quán)值較小，距離較近的權(quán)值較大。h為濾波參數(shù)，通過控制指數(shù)函數(shù)的衰減速度，從而控制平滑程度，且h>0。

傳統(tǒng)非局部均值算法中，濾波參數(shù)h取值過大或過小都會影響降噪效果，本文基于2個含噪地震數(shù)據(jù)塊歐氏距離平方之間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，結(jié)合權(quán)重函數(shù)式和高斯分布函數(shù)表達(dá)式，將權(quán)重表達(dá)式更改為：

(5)

(6)

其中，E(d)為均值，Var(d)為方差。

3 去除抖動效應(yīng)的非局部均值算法

(7)

(8)

(9)

去抖動的非局部均值降噪結(jié)果可以表示為：

(10)

(11)

當(dāng)i=j時,δi,j=1，其他情況δi,j=0。

4 全變分正則化非局部均值地震數(shù)據(jù)降噪

降噪后的地震數(shù)據(jù)表達(dá)式如式(12)所示：

(12)

(13)

其中，γ是一個固定參數(shù)，用于確定自適應(yīng)正則化的強(qiáng)度。

對地震數(shù)據(jù)的每個點(diǎn)i，進(jìn)行如下步驟：

(3)迭代結(jié)束，進(jìn)行最小化約束，得到地震數(shù)據(jù)的降噪結(jié)果。

5 地震數(shù)據(jù)降噪實(shí)驗(yàn)

現(xiàn)對合成地震及陸上疊后地震數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪，并用非局部均值NLM(Non-Local Means)算法、基于最近鄰選擇策略的非局部均值NN-NLM(Nearest Neighbor Non-Local Means)算法、本文的全變分正則化的非局部均值R-NLM(Regularization Non-Local Means)算法分別降噪。所有算法確保參數(shù)相同。本文對地震數(shù)據(jù)降噪的評價(jià)采用主觀評價(jià)和客觀評價(jià)相結(jié)合的方式，并使用峰值信噪比PSNR、均方誤差MSE和平均結(jié)構(gòu)相似性MSSIM來評價(jià)地震數(shù)據(jù)的降噪效果。

5.1 合成地震數(shù)據(jù)降噪

合成地震數(shù)據(jù)共計(jì)128道，分別加入均值為0、噪聲水平分別為原地震數(shù)據(jù)幅值5%，10%，15%，20%的隨機(jī)噪聲,使用3種算法對含有15%的合成地震數(shù)據(jù)分別進(jìn)行降噪，降噪結(jié)果如圖1所示。

Figure 1 Noise reduction results of synthetic seismic data圖1 合成地震數(shù)據(jù)降噪結(jié)果

在圖1b的NLM算法降噪結(jié)果中，在去除噪聲的同時，整體地震數(shù)據(jù)同相軸細(xì)節(jié)和背景區(qū)域都被過度平滑；圖1c的NN-NLM算法降噪結(jié)果中，背景區(qū)域出現(xiàn)噪聲殘留斑塊，同相軸細(xì)節(jié)較圖1b明顯；圖1d的降噪效果良好，無明顯噪聲殘留，合成地震數(shù)據(jù)的同相軸細(xì)節(jié)比較完整清晰，更接近原始地震數(shù)據(jù)。

為定量分析各算法的降噪性能，現(xiàn)人為添加均值為0、噪聲水平分別為原地震數(shù)據(jù)幅值5%，10%，15%，20%，25%的加性高斯白噪聲進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，各降噪算法得到的PSNR，MSE，MSSIM等性能指標(biāo)如表1所示。

隨著噪聲比例增加，3種算法的PSNR值都在下降，而R-NLM算法降噪后的PSNR明顯高于NN-NLM算法和NLM算法的，說明R-NLM算法在合成地震數(shù)據(jù)降噪方面表現(xiàn)良好；隨著含噪比例的增加，3種算法的MSE值都在上升，NN-NLM算法只在高信噪比時表現(xiàn)良好，在含噪比例提升至10%后，R-NLM算法的MSE明顯低于其他2種算法的，且增勢較緩，表明R-NLM算法在合成地震數(shù)據(jù)降噪中具有優(yōu)勢。

Table 1 Noise reduction results of synthetic seismic data表1 合成地震數(shù)據(jù)的降噪結(jié)果

5.2 陸上疊后地震數(shù)據(jù)降噪

某陸上疊后地震數(shù)據(jù)如圖2所示，共計(jì)128道，單道含128個采樣點(diǎn)。

Figure 2 Onshore post-stack seismic data圖2 陸上疊后地震數(shù)據(jù)

為定量分析各算法的降噪效果，現(xiàn)人為添加均值為0、噪聲水平分別為原地震數(shù)據(jù)幅值5%，10%，15%，20%，25%的加性高斯白噪聲。圖3所示為3種算法的PSNR值和MSSIM值隨噪聲水平變化的結(jié)果。

Figure 3 Experimental results comparison of 3 algorithms for onshore seismic data圖3 陸上地震數(shù)據(jù)中3種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

由圖3可知，R-NLM算法的PSNR值遠(yuǎn)高于其他2種算法的，在高信噪比時優(yōu)勢明顯，在低信噪比時，R-NLM算法仍比其他2種算法優(yōu)勢明顯，R-NLM算法的MSSIM值能較為穩(wěn)定地保持在0.99以上，說明R-NLM算法降噪結(jié)果在3種算法中和原圖像最為相近。

6 結(jié)束語

本文提出一種全變分正則化的非局部均值地震數(shù)據(jù)降噪算法，將權(quán)值函數(shù)進(jìn)行迭代更新，從而有效去除非局部均值降噪帶來的抖動效應(yīng)，最后對結(jié)果進(jìn)行全變分正則化。在合成地震數(shù)據(jù)和陸上疊后地震數(shù)據(jù)的降噪實(shí)驗(yàn)中，本文算法能夠在降噪后保留較高信噪比的同時，有效保留地震數(shù)據(jù)的同相軸細(xì)節(jié)，降噪后的地震數(shù)據(jù)平均結(jié)構(gòu)相似度均可保持在0.99以上，表明了本文算法在地震降噪中的有效性。然而，在保證計(jì)算效果的同時如何提高計(jì)算速度，仍然是以后研究的方向。