整體單元教學設計的研究
——以《方差和標準差》的教學為例

張志華

桐廬縣分水初中教育集團，浙江杭州 311519

混淆公式或概念、知識的遷移能力弱是當前數學教育“四基”落實中存在的問題。讓學生經歷概念的形成，主動概括出概念是解決此類問題積極有效的方法。如何有效率地建構概念，并用概念間的聯系來培養數學思維呢？筆者以《方差和標準差》為例，嘗試用整體單元的視角來說明如何教學設計，具體匯報如下：

1 理解教材對整體單元教學設計的意義

課程標準要求在數學教學中，注重發展學生的數據分析觀念、模型思想。方差和標準差是讓學生養成數據分析觀念的重要載體，也是學生樹立模型思想的重要載體。

1.1 明確課時內容的承前啟后

教材編排的進度是：先組織學習統計表、統計圖、頻數直方圖，讓學生對數據的變化趨勢、數據間的差異有直觀的感受。在此基礎上組織學習平均數、眾數、中位數，讓學生理解這些都是對數據集中趨勢的定量分析。對于數據離散分布的描述，頻數直方圖中的極差概念描述地過于籠統。基于這一現實，有必要引入新概念（即方差和標準差）來反映數據離散程度。這為用樣本估計總體提供了參照標準，為后續用頻率估計概率作知識儲備。明確課時內容的承前啟后，能讓學生明確學習新概念的必要性。

1.2 明確課時內容的教育擔當

方差和標準差承載了培養學生數據分析觀念的教育期盼，所以讓學生用已學的統計量來分析數據是課堂引入必須要采用的內容。感受原有的統計量不能解決數據離散程度的比較，讓學生充分思考怎樣的統計量能解決這個問題、如何去設計一個算法（即新的統計概念）來實現這樣的比較。在教學中讓學生去經歷算法的探求過程，能實現滲透數學模型思想的培養目標。采用學歷案模式教學，設計時可以制定以下學習目標：1.通過實際情境，合作交流經歷概念的產生過程，建構方差和標準差的概念；2.掌握一組數據的方差和標準差的計算，體會方差和標準差能反映數據的“離散程度”；3.結合實際情境，體會借助方差量化數據波動程度，積累統計經驗并提高數學的應用意識。其中學習的重點是方差和標準差的概念和計算；難點是方差和標準差的必要性和合理性。

1.3 突出課時內容的地位作用

《方差和標準差》在本章的地位是非常重要的，因為它是衡量數據穩定性的唯一指標。對于平均數、眾數、中位數等統計量而言，方差和標準差的計算量大，概念的形成步驟繁瑣，概念形成過程中的考量繁多，故它又是本章的難點。方差和標準差的概念也是公式，它的學習遵循公式教學的一般思路：發現公式→推導公式→理解公式→辨析公式→應用公式。在推導公式的過程中讓學生理解每一步驟，并及時的鞏固概念就可以了。

2 理解學生對整體單元教學設計的要求

學生是學習的主體，方差和標準差概念的形成是一個從無到有的過程。教師如何引導學生發現問題，如何激發學生去探究問題，如何鼓勵學生去解決問題是教師在教學設計時必須要考慮的問題。教師可以從學生的學習、生活經驗來發問：如浙教版八下教材從甲乙兩人的射擊成績發問，學生發現兩者平均數、中位數都相同。從折線統計圖看甲穩定，乙較不穩定，但有最好發揮。問題起點低，能引發學生思考。選擇哪位選手，問題具有開放性，能激發學生主動參與學習。要求說明選擇的理由，能引發選擇甲的學生對數據離散程度度量的思考。考慮引導學生回溯眾數的概念，又讓學生意識到必須用計算去刻畫數據特征，設計時可對甲、乙增設數據：甲6，8，10，乙7，8，9。增設數據后，甲乙的眾數、極差也相同，并且通過統計圖不易明顯比較出數據波動幅度的大小。學生會試圖用每一個數據與平均數作差、匯總來刻畫這組數據對于平均數的離散程度。為消除正負抵消的影響，學生會再嘗試將所得的差加上絕對值、求和（即離差）來刻畫數據的離散程度。此時教師可以點評：求值時會出現什么情況（去絕對值時需對每一個差的正負作出判斷）？有沒有其它消除以上正負抵消的影響的方法？學生根據已習得的經驗，自然會嘗試將所得的差平方再求和（即方差）的方法。這是教師從學生思維的最近發展區著手。

3 理解教學在整體單元教學設計的體現

3.1 扶放有度的教學節奏

基于本課時的難點是方差和標準差的必要性和合理性，在推導公式的過程中務必要讓學生去參與計算、經歷失敗、嘗試改進、體驗成功。教師適時地給予鼓勵、提出質疑或給出改進的建議就可以了。比如，當學生已得出的統計方法后，教師給出情境：為避免某等因素對甲乙發揮的影響，再行測試。甲的成績分別為7，8，8，7，8，9，6，9，10，7，7，10。乙的部分成績為8，8，6，9，9，7，7，10，6，9，10另一部分成績因故已遺失。以上統計方法對不同個數的數據適用嗎？怎么改進？學生自然會想到將平方和再平均的方法。這讓學生主動建構了方差的概念，達成目標1。

3.2 講解、展示、練習教學鏈

計算甲、乙射擊成績的方差，明確方差大小與數據波動程度、穩定性的對應關系。教師可以及時指出：方差的單位是什么？怎么設計一個統計量令它具有實際意義。這樣順勢就得到了標準差的概念，并指出標準差也是反映數據的離散程度的。緊接著給出練習：

①樣本的方差是

3.3 支持遷移、應用的診斷

《方差和標準差》的學習是支持數據分析初步的學習的，所以本課時的教學設計除了要讓學生深度理解公式概念外，還要求把公式概念遷移到不同情境、不同數據中去應用。實現學習廣度的延伸，以達成學習目標3。

4 評估整體單元教學設計的目標的達成

整體單元教學設計的目的是讓單元知識系統整合。落實好本課時“四基”，能厘清整體單元概念間的關系。通過概括和整合，學生明確方差和標準差跟平均數一樣是數學工具，不同的是它是用來刻畫數據的離散程度。本章的教學重點是各統計量的概念和算法。建構概念，對數據分析能力的提升也是有要求的。教師可以整合教材資源組織學生對方差的兩個補充定理進行探究，比如：請解決以下問題：已知a1，a2，a3，…an的平均數為X，方差為Y，標準差為Z。①a1+3，a2+ 3，…an+3的平均數為_方差為_標準差為_。 ②3a1，3a2，3a3，…3an的平均數為_方差為_標準差為_。 ③2a1-3，2a2-3，2a3-3 ，…2an-3的平均數為_方差為 _標準差為_。提升方差概念的理解，達到數據處理能力提升的目的。本課時的教學重點是方差和標準差的概念和計算，以上兩個補充定理的探究是去解決這個重點問題的。課標要求，為不同的人在數學上得到不同的發展。以上問題也是有模型的，在此處無需提出數學模型的概念，讓學生自我感悟就可以了。