巧作垂線 妙用垂直

齊永利

摘? ?要：解題無定法，貴在得法。中考數學題的解法往往不止一種，但如果選取不當，就會使解題過程復雜化，甚至會誤入歧途導致錯誤。若能正確使用輔助線則可開啟解題的思維閘門，起到四兩撥千斤的效果，既可使問題化難為易，又可化繁為簡。

關鍵詞：中學數學;垂直關系;輔助線

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1009-010X（2020）11-0027-03

垂線垂直是初中數學的核心內容之一，幾乎和整個初中幾何各個部分知識都有直接聯系，也就是貫穿整個初中三年的幾何內容。而輔助線作為解題的切入點，常常給解題起到“催化劑”和“點睛之筆”的作用。一條（多條）輔助線，常常給予師生更好的思路和更好的方法。因此，正確地使用輔助線，做到“召之即來，揮之即去”，對學生解題非常有幫助，這便是輔助線的精髓所在。筆者翻閱近年中考試題，總結常見有以下幾種類型。

類型一：見角平分線，向角兩邊作垂線

例1.（2019·陜西）如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E.若DE=1，則BC的長為（ ）

【分析】過點D作DF⊥AC于F如圖所示，根據角平分線的性質得到DE=DF=1，解直角三角形即可得到結論.

【解答】過點D作DF⊥AC于F如圖所示，∵AD為∠BAC的平分線，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF為等腰直角三角形，∴CD=，∴BC=BD+CD=2+，故選：A.

【評注】本題考查了角平分線的性質，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關鍵。

類型二：見等腰三角形，作底邊上的高

例2.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長線上一點，E在AC上，且AD=AE，求證：DE⊥BC.

【分析】過A作AM⊥BC于M，根據等腰三角形三線合一的性質得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性質及等邊對等角的性質得出∠BAC=2∠D，則∠BAM=∠D，根據平行線的判定得出DE∥AM，進而得到DE⊥BC.

【證明】如圖，過A作AM⊥BC于M，

∵AB=AC，∴∠BAC=2∠BAM，

∵AD=AE，∴∠D=∠AED，

∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，

∴∠BAC=2∠BAM=2∠D，∴∠BAM=∠D，

∴DE∥AM，∵AM⊥BC，∴DE⊥BC.

【評注】本題考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質，平行線的判定等知識，難度適中。準確作出輔助線是解題的關鍵。

類型三：見銳角（三角函數），構造直角三角形

例3.（2019·葫蘆島）如圖，河的兩岸a、b互相平行，點A、B、C是河岸b上的三點，點P是河岸a上的一個建筑物，某人在河岸b上的A處測得∠PAB=30°，在B處測得∠PBC=75°，若AB=80米，則河兩岸之間的距離約為 米.（≈1.73，結果精確到0.1米）

【分析】過點A作AE⊥a于點E，過點B作BD⊥PA于點D，然后銳角三角函數的定義分別求出AD、PD后即可求出兩岸之間的距離。

【解答】過點A作AE⊥a于點E，過點B作BD⊥PA于點D，∵∠PBC=75°，∠PAB=30°

∴∠DPB=45°，∵AB=80，∴BD=40，AD=40，∴PD=DB=40，∴AP=AD+PD=40+40，∵a∥b，∴∠EPA=∠PAB=30°，∴AE=AP=20+20≈54.6，故答案為：54.6

【評注】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是熟練運用含30°角的直角三角形性質以及銳角三角函數的定義，本題屬于中等題型.

類型四：與圓有關的垂線段

（一）有切點，連半徑，得垂直

例4.（2019·阜新）如圖，CB為⊙O的切線，點B為切點，CO的延長線交⊙O于點A，若∠A=25°，則∠C的度數是（ ）

A.25° B.30° C.35° D.40°

【分析】連接OB，CB與⊙O相切于點B，得到∠OBC=90°，根據條件得到∠COB的度數，然后用三角形內角和求出∠C的度數即可.

【解答】如圖：連接OB，∵OB=OA，∴∠A=∠OBA，∵∠A=25°，∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°，∵AB與⊙O相切于點B，∴∠OBC=90°，∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°.故選：D.

【評注】本題考查的是切線的性質及三角形內角和定理，先求出∠COB的度數，然后在三角形中求出∠C的度數.正確作出輔助線是解題的關鍵.

（二）無切點，作垂直，證半徑

例5.（2019·遼陽）如圖，BE是⊙O的直徑，點A和點D是⊙O上的兩點，連接AE、AD、DE，過點A作射線交BE的延長線于點C，使∠EAC=∠EDA.

求證：AC是⊙O的切線.

【分析】（1）連接OA，過O作OF⊥AE于F，得到∠EAO+∠AOF=90°，根據等腰三角形的性質和圓周角定理得到∠EDA=∠AOF，推出OA⊥AC，得到AC是⊙O的切線;

【證明】（1）連接OA，過O作OF⊥AE于F，

∴∠AFO=90°，∴∠EAO+∠AOF=90°，

∵OA=OE，∴∠EOF=∠AOF=∠AOE，

∵∠EDA=∠AOE，∴∠EDA=∠AOF，

∵∠EAC=∠EDA，∴∠EAC=∠AOF，

∴∠EAO+∠EAC=90°，

∵∠EAC+∠EAO=∠CAO，∴∠CAO=90°，

∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切線;

【點評】本題考查了切線的判定與性質：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。圓的切線垂直于經過切點的半徑。判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”;有切線時，常常“遇到切點連圓心得半徑”。也考查了扇形的面積的計算，等腰三角形的性質，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵。

類型五：作垂直，構相似

例6.如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，AB=5.點D在反比例函數y=■（k>0）的圖象上，DA⊥OA，點P在y軸負半軸上，OP=7.

（1）求點B的坐標和線段PB的長;

（2）當∠PDB=90°時，求反比例函數的解析式.

【分析】（1）根據勾股定理求出OB，即可得出答案;（2）設D的坐標是（4，y），證△BDM∽△DPM，得出比例式，代入即可求出y，把D的坐標代入求出即可.

【解答】（1）∵AB=5，OA=4，∠AOB=90°，∴由勾股定理得：OB=3，即點B的坐標是（0，3），∵OP=7，∴線段PB的長是7+3=10;

（2）過D作DM⊥y軸于M，∵PD⊥BD，

∴∠BDP=∠DMB=∠DMP=90°，

∴∠DBM+∠BDM=90°，

∠BDM+∠MDP=90°，

∴∠DBM=∠PDM，∴△DBM∽△PDM，

∵OA=4，AD⊥x軸，∴設D的坐標是（4，y）（y>0），

解得：y=1，（y=-5舍去），

即D點的坐標是（4，1），

把D的坐標代入y=得：k=4，

即反比例函數的解析式是y=.

【評注】本題考查了一次函數和反比例函數的交點問題，相似三角形的性質和判定，用待定系數法求函數的解析式的應用，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵，題目比較典型，難度不大.

類型六：作垂直，用勾股

例7.（2019·天門改編）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別為O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）.動點P從點O出發，以每秒3個單位長度的速度沿邊OA向終點A運動;動點Q從點B同時出發，以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動.設運動的時間為t秒，PQ2=y.寫出y關于t的函數解析式及t的取值范圍。

【分析】過點P作PE⊥BC于點E，由點P，Q的出發點、速度及方向可找出當運動時間為t秒時點P、Q的坐標，進而可得出PE、EQ的長，再利用勾股定理即可求出y關于t的函數解析式（由時間=路程÷速度可得出t的取值范圍）;

【解答】過點P作PE⊥BC于點E，如圖所示.

當運動時間為t秒時（0≤t≤4），

點P的坐標為（3t，0），點Q的坐標為（8-2t，6），

∴PE=6，EQ=|8-2t-3t|=|8-5t|，

∴PQ2=PE2+EQ2=36+|8-5t|2=25t2-80t+100，

∴y=25t2-80t+100（0≤t≤4）.

【點評】通過做垂線得到直角三角形利用勾股定理，找出y關于t的函數解析式是解決本題的關鍵。