以任意高維糾纏態為量子信道的受控隱形傳態

彭家寅

內江師范學院 數學與信息科學學院，四川 內江641199

1 引言

1993年，通過量子力學資源傳輸量子態的思想是由Bennett等人[1]于1993年率先提出，他們使用Einstein-Podolsky-Rosen對和經典通信，將一個單粒子未知量子態從發送端傳送到遠程接收端，而沒有傳輸量子態載體本身。在光學實驗中，用偏振光子[1]和單相干場模式[2]實現了量子態遠距離傳輸。在Bennett等[1]的開創性工作之后，一些研究者利用不同類型的量子信道，設計出了許多隱形傳態協議[3-13]。其中大多數的隱形傳態方案涉及到了一些特定的量子信道，如二維希爾伯特空間中EPR對的復合態或多粒子糾纏態。

受控隱形傳態[14-20]是隱形傳態的一種擴展版，其接收者只有在監控者的許可下，才能重構發送者的原始量子態。1998年，Karlssion和Bourennane[14]率先提出以三粒子GHZ態為信道來傳遞一個單粒子態的受控隱形傳態協議。2004年，Yang等[17]提出了傳輸多量子信息的多方受控隱形傳態協議。2005年，Deng等[18]提出了任意二粒子糾纏態的受控隱形傳態方案，該方案可以不加任何修改地直接用于受控隱形傳態。Zhou[19]和Dong[20]等提出利用非最大糾纏態作為量子信道、任意多個粒子的態的多方受控隱形傳態方案。文[21-23]研究了多方分享多維量子態協議，這些協議也可以直接作為多方受控隱形傳態方案。相對而言，高維量子比特比二維量子比特攜帶更多的信息[24]。通過將幾個量子比特組合成一個單一的、高維的系統，這些量子比特之間的門變成遠小于二維量子比特的單個高維量子比特的操縱，這可能更可靠。但值得注意的是，在上述所有方案中，發送者要傳送的態的粒子維數與量子信道中粒子的維數是相同的。最近，Zhan等[25]用三維糾纏態作為信道，提出一個關于二維單粒子態的隱形傳態的協議，并將之推廣到用任意d-維糾纏態作為信道、關于傳遞f維的量子隱形傳態的情況(d＞f)。接著，給出了采用不同維數的量子信道，遠程地執行單量子未知酉算子的一個協議[26]。

本文在文獻[25]的基礎上，研究高維信道的受控隱形傳態問題。首先以三維量子糾纏態為信道，建立起發送者、接收者和控制者三方合作傳送二維未知單量子態的方案，并將之推廣到d-維量子糾纏信道的t-維未知單量子態傳輸情形(d＞t)。

2 以三維量子態為信道態的受控隱形二維單量子傳態

為了討論方便，首先考慮(3×2)-維Hilbert空間中的如下一個最大量子糾纏態：

其中，p是三維Hilbert空間中的粒子，而q是二維Hilbert空間中的粒子。容易計算得到：作用在粒子p上的單體算子：

這里m′=0,1,2；n′=0,1。

現在考慮量子隱形傳態方案：假設在監控者Charlie的控制下，Alice想要把任意未知二維單量子態：

傳送給Bob，這里，α和β是任意復系數且滿足 ||α2+|β|2=1。Alice、Bob和Charlie事先安全地分享如下一個三維量子糾纏態：

其中，粒子A、B和C分別屬于Alice、Bob和Charlie。整個系統的態可以表示成：

3 以d-維量子態為信道態的受控隱形t-維單量子傳態

將第2章結果推廣到更一般的情形。為此，考慮一個(d×t)-維Hilbert空間中的最大糾纏態：

其中，p是d-維Hilbert空間中的粒子，q是t-維Hilbert空間中的粒子，且p＞q。單體變換：

其中，k=0,1,…,d-1；l=0,1,…,t-1。具體地：

將單體變換Ukl作用在粒子p上，可將

具體如下：

其中，k=0,1,…,d-1，l=0,1,…,t-1。

下面轉到本文的方案上來，假設發送者Alice、接收者Bob和監控者Charlie事先分享如下所示的d-維量子態：

其中，粒子A B和C分別屬于Alice、Bob和Charlie。假定Alice希望將如下一個t-維單粒子未知態傳送給Bob：

Charlie收到信息后，若他愿意合作完成任務，那么他用如下所示的基：

其中，r=0,1,…,d-1，對粒子C進行測量，并將測量結果通知Bob。如果測量為，則粒子B的態變為：

Bob根據Alice和Charlie的測量結果，并對粒子B執行如下所示的d-維酉變換

(s,t=0,1,…,d-1)中的適當變換Wr0，則變成：

然后，對粒子B施行式（10）所示的單體變換Ud-k,0，有：

再對粒子B施行單體變換U0l，于是

這表明Bob已經獲得了Alice的原始秘密，從量子任務完成。

4 結論

在幾乎所有的現有量子隱形傳態協議中，發送者要傳送粒子的系統Hilbert空間的維數等于發送者與接收者分享的量子信道的維數。然而，真實世界中量子通信的各方事先分享的量子態的維數不總是與所要傳輸的量子態的維數相同，特別是在某種緊急情景下，需傳遞特殊的量子信息時，這種維數的不一致是完全有可能出現的。從而，研究高維量子信道的隱形傳態是有必要的。

為此，本文首先給出利用三維量子信道去傳送二維單量子未知態的方案，該方案要求發送者Alice對她的粒子對進行非對稱基測量，監控者Charlie對自己粒子廣義單粒子投影測量，而接收者Bob需對其粒子執行三維酉變換和單體變換。此后，將上述方案進行了推廣：把三維量子信道換成d-維量子信道，將二維單粒子未知態傳輸換成小于d的任意f-維單粒子未知態的傳輸，方案仍然能夠以100%的概率成功實現。當然，上述兩個方案的實現都離不開監察者的許可；否則，隱形傳態任務失敗。此外，利用單體變換構造了兩組非對稱正交測量基，它們是這些方案中的一個關鍵要素。局部高維酉變換、單體變換和經典通信也是本文方案要求的。由于受控隱形傳態在網絡量子信息處理和加密協議中非常有用[27]，因此本文的方案有助于拓展量子信息科學的隱形態領域。