三角函數(shù)的傅立葉變換推導(dǎo)公式

(大連理工大學(xué) 遼寧 大連 116023)

一、狄利克雷條件

設(shè)f(x)是以2l為周期并且定義在[-l,l]上可積。可以知道下列傅立葉級(jí)數(shù)的展開式：

(1)

然而想取等號(hào)時(shí)，需要公式(1)收斂，并且收斂于f(x)是需要條件的。其中最常見的是滿足狄利克雷條件。當(dāng)f(x)滿足狄利克雷條件時(shí)，f(x)可以取等號(hào)，下列給出狄利克雷條件—函數(shù)f(x)在區(qū)間[-l,l]上滿足:

(1)連續(xù)，或只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，且都是第一類間斷點(diǎn)；

(2)只有有限個(gè)極值點(diǎn)。

(2)

當(dāng)函數(shù)滿足狄利克雷條件時(shí)，第一行為x∈(-l,l)在f(x)的連續(xù)點(diǎn)，第二行為x∈(-l,l)在f(x)的第一類間斷點(diǎn)，第三行為x=±l函數(shù)的端點(diǎn)值。

二、三角函數(shù)的傅立葉變換

由于上述公式為非周期函數(shù)且取值范圍在[0,a]。根據(jù)上述傅立葉級(jí)數(shù)的描述情況，sin(αmx)滿足狄利克雷條件，所以我們把此三角函數(shù)進(jìn)行偶延拓，再進(jìn)行周期延拓，然后利用傅立葉級(jí)數(shù)進(jìn)行表達(dá)：

(3)

當(dāng)m=p時(shí)，可以得到ap=0，所以下列為m≠p時(shí)：

將此過程置換順序之后，同理可得：

當(dāng)p=0時(shí)：

根據(jù)上述得到的結(jié)論，可以把此三角函數(shù)寫成：

(4)

同樣，對(duì)于cos(αmx)也可以做上述推導(dǎo)，可以由讀者自行推導(dǎo)，驗(yàn)證。本文簡(jiǎn)單地介紹了傅立葉級(jí)數(shù)的使用和拓展，在純數(shù)學(xué)推導(dǎo)中研究傅立葉函數(shù)的應(yīng)用。在我們無法進(jìn)行理論證明的時(shí)候，采用直觀推斷的研究方法其實(shí)在早期的科學(xué)研究中，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用，因此也帶來了很多的重要發(fā)現(xiàn)，傅立葉級(jí)數(shù)就是其中之一。