四邊固支矩形薄板熱屈曲問題的有限積分變換法

(大連理工大學建設工程學部 遼寧 大連 116024)

一、前言

水泥混凝土薄板是一種重要的結構構件，在土木、道路橋梁、水利以及航空航天領域有著廣泛的應用。實際工程中，水泥混凝土薄板會受溫度的影響而產生溫度應力，在溫度上升到一定程度時會薄板會出現熱屈曲的狀態。薄板熱屈曲對薄板工作狀態有很重要的影響，但是現有的對于薄板溫度屈曲的解析解相關研究比較少，因此對溫度荷載作用下的矩形板進行力學分析具有重要的理論及工程價值。

近年來，溫度荷載對于矩形板的影響受到了很多的關注。弓滿鋒等人[1]應用五節點差分法求解關于平面應力的非線性偏微分方程，得出矩形薄板受溫度場和相應邊界條件約束時的應力分布特點。程選生、杜永峰[2-3]于2006年根據橫向變溫作用下各向同性材料彈性矩形薄板的平衡微分方程和邊界條件,通過試取撓度函數,推導了四邊簡支以及四邊固支情況下的撓度及內力計算公式。在此基礎上，程選生等人[4]推導了彈性地基上鋼筋混凝土矩形薄板在熱載作用下的平衡方程和穩定方程，給出了四邊簡支鋼筋混凝土矩形薄板在均勻溫度變化時臨界屈曲溫度變化的封閉解，討論了板的材料常數、長寬比、相對厚度和基床系數等對臨界屈曲溫度變化的影響，從而為工程結構中彈性地基上鋼筋混凝土矩形薄板的臨界屈曲溫度的計算提供了理論計算依據。

彈性矩形板問題的研究方法眾多，鐘陽教授于2005年將有限積分變換法系統地應用于彈性矩形板問題的求解中。該方法是以積分變換理論為基礎的，首先將矩形板基本控制方程轉換至積分變換域內，從而在變換域內進行求解，最后經積分逆變換得到了直角坐標系下矩形板位移和內力的精確解。有限積分變化法求解思路清晰，計算簡便，由于求解過程不需預先人為選定位移函數，而是直接從矩形板的基本控制方程出發求出問題的精確解，使得問題的求解過程更合理化，因此對不同的邊界條件有非常好的通用性。例如鐘陽教授利用二維有限積分變換的方法推導出了四邊固支矩形厚板位移和內力的精確解[5]，利用雙重有限余弦積分變換的方法推導出了彈性地基上四邊自由矩形薄板問題的解析解表達式[6]。田斌[7]采用有限積分變換法給出了簡支板的納維爾解推導過程，并分別求解了四邊固支薄板和彈性地基上四邊自由薄板，提出了以有限積分變換法為基礎的求解任意邊界薄板位移函數的統一公式，并通過懸臂薄板的求解驗證了該公式的正確性。

本文運用有限積分變化法進一步應用到推導溫度荷載作用下四邊固支矩形薄板溫度屈曲過程的解析解。在推導過程中首先將其控制方程進行有限積分變換，代入邊界條件的表達式，最后得出解析解。

二、四邊固支薄板熱屈曲有限積分變換法

已知矩形薄板計算的基本假定[8-10]：a.變形前垂直于中面的直線，在板變形后仍然垂直于變形后的中面，且長度保持不變；b.應力分量σz、τxz、τyz遠小于其余三個應力分量(σx,σy,τxy)，因而其引起的應變可忽略不計；c.薄板中面內的各點都沒有平行中面的位移，即：u|x=0=0，v|x=0=0。

(一)薄板熱彈性的基本方程

已知幾何方程為：

(1)

式中：α是線膨脹系數；T=T(x,y,z)是薄板中任意一點的變溫。E和μ分別為板的楊氏模量和泊松比。求解應力分量得：

(2)

若令D=Eh3/12(1-μ2)，則有：

(3)

(4)

(二)有限積分變換法求解控制方程

根據經典薄板的小撓度理論[11]，矩形薄板在單向壓縮荷載作用下的控制方程為

(5)

(6)

其中D=Eh3/12(1-μ2)為板的彎曲剛度。

對于四邊固支矩形薄板所需要二維正弦有限積分變換如下：

(7)

逆變換為：

(8)

對于控制方程進行有限積分變換時所需要的高階偏微分項如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

將式(9)-(13)代入到控制方程(5)中可得：

(14)

將四邊固支條件下四邊的撓度為零代入，即將W|x=0=W|x=a=0,W|y=0=W|y=b=0代入上式，可得：

(15)

接下來，令

(16)

已知對于四邊固支邊界條件：

(17)

將(17)代入(16)Im,Jm,Kn和Ln即可得到

(18)

可以看出-DIm,-DJm,-DKn和-DLn分別為y=b,y=0,x=a和x=0四條邊彎矩的傅里葉系數可表示為：

(19)

由此，公式(14)可整理為：

Wmn=Cmn{βn[(-1)nIm-Jm]+αm[(-1)mKn-Ln]}

(20)

將上式(20)代入公式(3)即可得到W(x,y)的表達式，其中m=1,2,3,…n=1,2,3…,

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

整理并展開(22)-(25)式可得：

(26)

(27)

(28)

(29)

公式(26)-(29)組成有關于Im,Jm,Kn和Ln的四個聯立方程組，通過矩陣的方程式為零可以求得四邊固支薄板熱屈曲的荷載系數。通過Mathematica計算軟件即可編程計算得出結果。盡管當m、n趨近于無窮時，從推導中可以觀察到屈曲荷載系數的精確解，但在實際應用中，只需少量的項就可以得到具有期望精度的收斂解，這是本方法的主要優點。

三、結論

本文采用有限積分變換方法，對矩形薄板的熱屈曲解析解進行了研究。將高階偏微分控制方程轉化為一個線性代數方程組，得到了其解析解。該方法的主要優點是簡單、通用，不需要預先確定撓度函數，使求解過程更加合理。該方法還可推廣到彎曲、振動以及厚板和中厚板問題。這種方法對工程師和科學家來說都很容易實現。本文研究得出的解析解結果為其它數值分析方法的驗證提供參考。