從特殊到一般 從定點到動點
——以一堂初三復習課為例

章亞娣

(浙江省杭州觀成實驗學校 310000)

坐標系內含有動點的圖形面積問題，是中考題中非常常見的類型.這類題目的核心知識是坐標系中三角形面積計算,學生對于這類題目的求解往往會熟記一種方法，但是把握不到問題解決的關鍵點，往往動點位置一換，就處于“束手無策”狀態，而教師在平時教學中，也經常流離于問題解決的“本質”，就題論題.為此，筆者有意進行了課堂探究和實踐.

一、目標定位

1.經歷從在平面直角坐標系特殊位置的三角形面積計算到一般位置三角形面積計算過程，討論分析如何將一般位置三角形面積化歸為特殊位置三角形面積計算，發展學生數學直觀、數學概括和歸納能力.

2.探索在坐標系中三角形有一個頂點在不同函數圖象上運動時，三角形面積的變化規律，體會以不變應萬變的辯證思想在問題解決中的應用.

二、教學設計及實踐

1.從特殊位置的三角形面積引入新課

新課開始，教師先給出兩個特殊位置的三角形，要求學生口答三角形面積.

練習1如圖1和圖2，口答△ABC的面積.

問題1 你是怎么求兩個三角形面積的？

問題2 這兩個三角形有什么共同特點？

2.探究一般位置三角形面積計算

練習2 當三角形沒有一條邊和坐標軸平行如圖3，點A、B、C的坐標如圖所示，請同學們用盡可能多的方法求△ABC的面積.

給學生充足的時間來研究一般位置三角形面積計算，等每個學生基本上有三、四種方法以后，分別請同學們上來分享交流.要求每個學生都在學案上畫圖，寫解題思路，教師通過實物投影展示，在學生展示以后，教師追問.

問題3為什么這樣添線？目的是什么？

問題4為什么補成矩形就可以求了？問題關鍵點在哪里？

問題5矩形和其他三角形位置特殊在哪里？

每一個學生交流以后，教師都追問這三個問題，強化對于一般位置三角形面積計算的關鍵是轉化成水平底(鉛垂底)和高的三角形從而求解.在課堂實踐過程中，學生后續還出現了十多種方法.

設計意圖和實踐效果：從特殊到一般，學生經歷困惑，在交流過程中發現部分學生“知其然，不知其所以然”，通過問題的追加，不斷重復為什么這樣添線，目的是轉化三角形的底和高，使得三角形的底和高能夠與坐標軸平行，這樣可以利用三角形面積公式求解.在計算三角形面積過程中同時復習了一次函數求解析式，求點坐標等知識，并在思維碰撞中不斷創新，學生們發掘出了以上15中轉化方式.這個時候教師及時總結歸納，理解核心——坐標平面內一般位置三角形面積計算需要轉化成特殊位置三角形：水平底(高)和鉛垂高(底)，轉化方法有：補成三角形(或四邊形)然后減、分割成兩個三角形然后加或者利用平行線等積轉換，把一般三角形面積轉化成水平底(高)或者鉛垂高(底)的三角形.

3.從定點到動點，理解不變

基于學生有了計算面積的經驗，找到了轉化一般三角形面積計算的方法，學生們對于三角形面積計算有了更高的學習積極性和求知欲，教師及時拋出問題3.

練習3如圖8已知△ABC在平面直角坐標中位置為A(0,2) ,B(4，0),C(2，a)，思考：

(1)你能用含有a的代數式表示△ABC的面積嗎？

(2)當三角形面積為8時，你能求出點C的坐標嗎？

在教師:“有動點，先畫圖”的引導下，多數孩子能夠畫出圖形，并用割、補或平行線等積轉化中一種方法來解決問題(如圖9).

問題5對比練習2，你能發現點C在運動過程中有哪些不變的圖形或數量關系？

問題6△ABC的面積大小取決與哪個量？

問題7用點C的縱坐標來表示△ABC的面積的方法有哪些？

問題8怎么割補或轉化呢？

問題9由此可知，解決動點問題的關鍵是什么？

設計意圖：問題8設計意在通過對比動點和定點的圖形，找到它們之間的聯系，問題9的設置促使學生回顧問題解決得思考過程，突出解決動點問題的關鍵是找到不變的量，找到轉化面積問題的方法從而“構造”出水平方面或鉛垂方向的三角形，從而得到面積計算的方法.

4.拓展升華

在歸納出定點問題轉化的關鍵之后，教師給出綜合背景的練習，以促使學生進一步鞏固理解所學的知識.

(1)若點C為拋物線在第一象限的一個動點，求△ABC面積的最大值.

(2)當△ABC為面積為3時，求點C的坐標.

設計意圖：從點在直線上動，到點在拋物線上動，三角形圖形變化情況更加復雜了，如何去偽存真的找到解決問題的關鍵，是設置練習4的用意.經歷了定點的三角面積計算，到點在直線上動，最后落腳于點在拋物線上動，來拓展和鞏固坐標平面內三角形面積計算，讓學生體會從特殊到一般，再把一般轉化成特殊，整堂課的設計水到渠成.

三、教學反思

1.遵循學生認知規律 螺旋上升安排教學內容

章建躍博士在《核心素養統領下的數學教學變革》中寫道：“數學學科核心素養的關鍵點是要從數學知識發生發展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考.”所以根據學生認知規律，螺旋上升的安排教學過程，反復多次滲透數學思想方法，讓學生在解題的時候經歷這個邏輯過程，促使學生學會思考， 重視培養學生自主探究，發現問題，解決問題的能力，這樣才能真正達到“數學育人”核心素養目標.

2.基于活動體驗 類比歸納體驗成功

數學知識的獲得是學生主動參與，積極探究的過程，因為設計一系列有助于學生探究的活動設計是不可少的，本節課切入點小，從特殊位置三角形面積求解引入，采用啟發探究，從特殊到一般，先歸納再推理. 從定點到動點，學生在觀察，對比，總結，應用中悟出動點問題一般方法，以不變應萬變.

3.教學設計把握“度”，學生活動把握“悟”

教學之道在于“度”，問題的設計需要恰時，恰點、直接要害的反映本質，簡明易懂的問題容易引發學生思考和討論.很多數學問題靜態問題中，往往可以從多種角度找到解決問題的多種方法，可以說是“條條大路通羅馬”.但是一題雖然多解，多解的方法中也有不變思想方法，教師要通過一系列問題設計，引導學生思考問題本質.