稀疏過程下帶有退保和分紅策略的相依風險模型

(廣西民族師范學院 數學與計算機科學學院，崇左，532200)

1 引言

在經典風險模型[1-2]中總假設保險公司在單位時間內收到的保費是固定不變的，發生索賠的次數{N(t),t≥0}服從齊次Poisson過程，索賠額是非負獨立同分布的隨機變量.基于此，文獻[3-7]對其進行推廣，考慮隨機保費收入、退保因素、分紅、利率等干擾因素的影響，建立相應的風險模型，得到了相關的性質、破產概率的上界與最終破產概率等結論.在這些模型中都假設保費到達數{M(t),t≥0}與索賠發生次數{N(t),t≥0}相互獨立，但在實際問題中，這兩者通常是相依的，收到的保單數越多，發生索賠的次數就會越多.因此文獻[8-10]討論了理賠次數{N(t),t≥0}是保單到達數{M(t),t≥0}的p-稀疏過程，運用破產論的方法討論模型盈余過程相關函數的性質，給出了最終破產概率的表達式和Lundberg上界.本文在文獻[7，10]的基礎上引入干擾因素，假設索賠次數{N1(t),t≥0}，退保次數{N2(t),t≥0}和支付紅利的保單數{N3(t),t≥0}分別是保單到達數{M(t),t≥0}的p1,p2,p3-稀疏過程，建立帶有退保和分紅策略的相依風險模型，并運用鞅方法討論該模型盈余過程的性質，給出最終破產概率的表達式和破產概率的Lundberg上界.

2 模型的建立

本文考慮如下風險模型：保險公司在t≥0時刻的盈余

(1)

其中：u為保險公司的初始資本；{M(t),t≥0}和{Ni(t),t≥0}(i=1,2,3)分別表示在時間區間(t-1,t]內保險公司收到的保單數、發生的理賠次數、退保的保單數和支付紅利的保單數；Xk表示第k次的索賠額；Yk表示第k張保單收取的保費；Zk表示第k張退保保單的給付額；Ik表示第k次支付的紅利額,且當盈余大于或等于給定的非負整數紅利界時，保險公司才支付紅利；σ表示干擾系數；W(t)是標準的布朗運動，代表公司不確定的收益或損失.本文假設保險公司收取保費、進行賠付、退保及支付紅利均在時間區間(t-1,t]的始端進行.

對上述模型(1)，做如下假設：

2) {M(t),t≥0}是強度為λ的Poisson過程，{Ni(t),t≥0}是{M(t),t≥0}的pi(i=1,2,3)-稀疏過程，即{Ni(t),t≥0}服從參數為λpi(i=1,2,3)的Poisson過程，其中0

3) 假設{Xk,k≥0},{Yk,k≥0},{Zk,k≥0},{Ik,k≥0}之間是相互獨立的，且由文獻[11]知{M(t),t≥0},{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0},{N3(t),t≥0}之間也是相互獨立的.

記盈利為：

(2)

為了保證公司的正常運行，須要求E[S(t)]>0,即μy-p1μx-p2μz-p3μi>0,因此定義相對安全負荷系數

定義T=inf{t:t≥0,U(t)<0}(infφ=∞)稱為破產時刻，ψ(u)=Pr(T<∞|U(0)=u)稱為最終破產概率.

3 主要結論

引理1[13 ]盈利過程{S(t),t≥0}有如下的性質：

(1)具有平穩獨立增量；

(2)E[S(t)]=(μy-p1μx-p2μz-p3μi)λt>0；

(3)存在正數r,使得E[e-rS(t)]<∞.

引理2對于模型(1)的盈利過程{S(t),t≥0},存在一個函數g(r),使得E[e-rS(t)]=eg(r)t,其中

(3)

LY(r)=E[e-rY]，MX(r)=E[erX].

證明根據Laplace變換和矩母函數的定義知：

故

·E[exp{-rσW(t)}]=expt{λ[LY(-r)-1]+λp1[MX(r)-1]

再令

即得E[e-rS(t)]=eg(r)t.

引理3方程g(r)=0存在唯一正解R,稱其為調節系數.

證明∵g(0)=0,

=λ(μy-p1μx-p2μz-p3μi)<0，

證明?v≤t,根據引理2有

引理4[12]T是ξs停時.

定理2模型(1)的最終破產概率滿足Lundberg不等式：

ψ(u)≤e-Ru,

其中R為調節系數.

證明因為T是ξs停時，任取t0≤∞,易知t0∧T仍是ξs停時，且有

e-ru=Mv(0)=E[Mv(t0∧T)]=E[Mv(t0∧T)|T≤t0]Pr{T≤t0}

+E[Mv(t0∧T)|T>t0]Pr{T>t0}≥E[Mv(t0∧T)|T≤t0]Pr{T≤t0}

=E[Mu(T)|T≤t0]Pr{T≤t0}.

(4)

因為當T<∞時，有u+S(t)≤0,故

(5)

定理3模型(1)的最終破產概率為

其中R為調節系數.

證明在(4)式中取r=R得

e-Ru=E[e-RU(T)|T≤t0]Pr{T≤t0}+E[e-RU(t0)|T>t0]Pr{T>t0}.

(6)

以I{U(t0)≥0}表示集合{U(t0)≥0}的示性函數，則有

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]Pr{T>t0}=E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}].

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1,依據強大數定理可知，當t0→∞時，U(t0)→∞.a.s.所以由控制收斂定理可得

因此在(6)式兩端令t0→∞，即可得證結論.

推論1在模型(1)中，設收取的保費Yk，理賠額Xk，退保保單的給付額Zk，支付的紅利額Ik分別服從參數為α1,α2,α3,α4的指數分布，則調節系數R滿足的方程為：

(7)

4 幾個例子

表1 不同初始準備金u對應的破產概率上界

由表1可以看出初始資本金越多，破產概率就越小，這說明保險公司在條件允許時應盡量增加初始準備金.

例2設λ=20張/天，σ=1,p1=0.5%,p2=0.05%,p3=0.005%，收取的保費Yk,理賠額Xk,退保保單的給付額Zk,支付的紅利額Ik分別服從參數為

的指數分布，針對不同的μx,μz,取不同的初始準備金u，利用(7)式得到其調節系數R與對應的破產概率上界e-Ru如表2.

表2 調節系數R與破產概率上界e-Ru的模擬結果

由表2可以看出:當初始準備金和退保額一樣時，理賠額越大，破產概率上界就越大，調節系數越小;當理賠額與退保額固定時，破產概率上界隨著初始準備金的增加而減低，這與保險公司的實際經營狀況完全符合.

例3設保單到達速率為λ=20張/天，σ=1,p3=0.005%，收取的保費Yk，理賠額Xk，退保保單的給付額Zk，支付的紅利額Ik分別服從參數為

的指數分布，初始準備金u=10000,取不同的p1,p2得到的破產概率上界如表3.

表3 不同的p1, p2對應的破產概率上界

由表3可以看出當p2一樣時，p1越大，即平均索賠比例越大，破產概率就越大；當p1一樣時，p2越大，即退保比例越大，破產概率上界就越大.因此，當理賠和退保發生時，保險公司要合理做好相應的工作，減低理賠和退保比例，使公司穩定發展.