隨機雙曲折現下的消費與最優投資策略探究

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(1.中南大學數學與統計學院，長沙，410083；2.中南大學商學院，長沙，410083)

1 引言

最優消費與投資的問題是金融數學學中的一個重要的研究方向.在1969年，Samuelson考慮了離散時間下的投資者最優投資組合選擇與消費行為的問題[1]，與此同時Merton將Samuelson的模型擴展到連續時間情形，并討論了當收益率由一個Wiener Brownian運動過程生成時多資產組合的最優配置與不確定性下的投資者跨期消費行為[2].之后的研究者在Merton的不確定性條件下的最優消費與投資組合研究的基礎上進行了一系列的推廣與拓展.Basak等分析了效用對打的最優動態投資組合與消費者消費行為的關系，提出了使用損失預期的替代風險管理模型彌補風險價值模型過度偏好風險的不足[3].Cox與Huang等研究了資產價格服從擴散過程時的最優消費與投資組合[4].Choi等研究了生存時間無限時，投資者消費休閑和退休選擇與最優投資組合的關系[5].考慮到消費率通常大于或等于一些非負過程，Yuan等研究了具有消費習慣約束的最優消費與投資組合策略[6].在具有馬爾可夫切換的金融市場中，Fei推導了廣義Ito公式，并利用帶有馬爾可夫切換的廣義Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程計算了不確定隨機金融市場下具有馬爾可夫切換的最優消費與投資組合[7,8].Mao和Carson將掙錢投資拓展到保險行業，得到了保險合同的最優價格與保險公司最優投資組合之間的關系[9].Lee等研究了在生存相對消費約束下的常數相對風險厭惡(CRRA)效用函數控制時，在投資者生存時間無限的情形下的選取最優消費與投資組合的問題，并提供了其解析解[10].Chang等人使用Legendre多項式，將非線性的HJB方程轉化為線性對偶形式，并獲得了其在Vasicek利率模型下最優消費與投資組合的解析解[11].Song等討論了在損失厭惡和下行消費約束下的連續時間最優投資組合與消費問題，數值試驗表明規避風險的投資者喜歡消費更多的錢，但比恒定相對風險厭惡的投資者承受的風險更少，另外恒定相對風險厭惡的投資者的最優財富下降速度通常會更快[12].Lim等討論了退休前后不同的最佳消費與投資組合的策略，并給出了其閉解[13].

為了簡化模型，在跨期經濟研究中通常使用具有常數折現率的指數折現函數，Strotz在1955年提出了一個具有時間一致偏好的折現函數[14].但是，一些心理學與行為科學的研究指出，由于時間推移，消費者對產品的心理預期會發生一些變化，因此時間一致偏好通常的假設難以被滿足[15,16].在此基礎上，Harris和Laibson為了反映消費者心理預期的變化，提出了隨機雙曲折現模型，允許消費者的心理預期在持續一段時間后發生轉變，使得模型更符合實際生活[17].Palacios與Huerta等研究了資產組合的選擇問題[18]，王等研究了雙曲折現假設下的消費與套期保值問題[19].陳等將隨機雙曲偏好引入Morten經典的跨期消費與投資組合選擇模型，得到了在常數絕對風險厭惡效用函數假設下的最優消費與投資組合問題的解析解[20].Koo與Lim研究了基于雙曲折現和稅收時間不一致偏好的假設下的消費與人壽保險的最優投資策略[21].

現實世界中的一些隨機因素通常也會對人的消費行為產生影響.消費行為可以被認為服從一個Wiener Brownian運動過程，因此隨機消費作為一個重要的影響因素需要被加入到模型中.賀芳等研究了在隨機消費的情形下的保險基金投資問題[22].江和馬提出一個具有隨機消費的風險模型用于計算破產概率[23].本文提出基于隨機消費模型的投資者消費和資產配置策略，在投資者具有常數絕對風險厭惡效用函數的假設條件下，研究具有時間不一致偏好和生存期無限的投資者個人跨期消費與資產投資組合的配置問題，并給出模型的解析解.

2 雙曲折現下的隨機消費模型

在這一節中，我們首先回顧隨機雙曲偏好模型，然后，在Morten提出的連續時間消費投資模型的基礎上引入隨機消費行為，建立一個隨機消費與最優投資組合選取的模型.

2.1 隨機雙曲偏好模型

Harris和Laibson在2013年提出了隨機雙曲偏好模型.折現區間按照時間間隔被劃分為當前區間和未來區間兩個子區間，在當前區間中，收益按照恒定的折現率δ的指數折現函數進行折現；同時，在以恒定折現率δ的指數折現的基礎上乘以時間一致偏好因子β作為在未來區間的折現函數.那么，這個雙曲折現函數的表達式可以寫為如下形式：

這時，隨機雙曲折現函數轉化為一個確定性的跳躍函數，稱為瞬間滿足折現函數(IG).時間一致偏好因子β∈(0,1]用來描述偏好隨時間變化產生的偏差程度：β越小，則當前時間區間與未來時間區間的偏好之間偏差越大；β=1時，當前時間區間與未來時間區間的偏好不存在偏差，這時，隨機雙曲偏好模型退化為常數指數折現偏好模型.當時間t→0時，我們有：

這說明隨機雙曲折現函數對于時間t的平穩性假設是滿足的.

2.2 消費投資模型

假設金融市場在時間區間[0,T]內是一個有借貸限制的完備市場，其中包含有風險資產和無風險資產，投資Zp(t)和消費Zc(t)是兩個在完備的概率空間(Ω,F,P)上相互獨立的標準布朗運動.假設在t時刻一個固定回報率為r的無風險資產的價格St滿足如下微分方程:

dSt=rStdt.

同時，對于有風險資產，假設在t時刻的價格Pt服從標準布朗運動，即滿足微分方程：

dPt=Ptμpdt+PtσtdZp，

其中，μp,σt分別是有風險資產回報的均值和方差.

假設投資者在終止時刻T之前退休，在任意t∈[0,T]時刻隨機地進行消費，且隨機消費Ct滿足下列微分方程：

(1)

其中，μc和σc分別是消費額的均值與方差，|ρ|<1是投資者消費額與其擁有的風險資產價值間的相關系數，是一個常數.在t時刻，我們記投資者用于投資風險資產的財富數量為θt.為了便于計算，假設投資者僅擁有初始財富W0>0，沒有工資收入.那么在無限生命周期內，其所有資產價值的變化過程滿足如下方程：

dWt=(rWt+(μp-r)θt-Ct)dt+σpθtdZp，

其中，Wt表示投資者在t時刻擁有的財富.

這時投資者的目標是選取最優的資產配置組合來得到期望效用函數的最大值，即：

(2)

其中，u(c)為效用函數，τ是一個參數為λ的指數分布隨機變量，W0=w,C0=c.

3 雙曲折現下的隨機消費模型的策略求解

定理假設投資者具有常數絕對風險厭惡效用函數：

其中，絕對風險厭惡系數η>0，則投資者用于投資風險資產的財富的最優值為：

證明基于Palacios和Perez提出的雙曲折現模型，使得期望效用函數最大的解θ*需要滿足如下HJB方程[18]：

(3)

對上式右邊方括號中的函數關于變量θ求導，其導數記為f(θ)，得：

f(θ)=(μp-r)Vw+σp2θVww+σpσcρVcw.

令f(θ)=0，即可得到(3)式右邊函數的一個極值點：

(4)

由于投資者具有常數絕對風險厭惡效用函數：

不妨假設值函數V(w,c)具有如下形式：

(5)

分別計算其各階偏導數，得：

Vt=0，

Vw=e-ηr(w+bc+a)，

Vw=-ηre-ηr(w+bc+a)，

Vc=be-ηr(w+bc+a)，

Vcc=-ηrb2e-ηr(w+bc+a)，

Vcw=-ηrbe-ηr(w+bc+a).

將它們代入(4)式中，得到：

(6)

現在將(1)式使用差分進行近似，得到：

(7)

再將(3)，(6)，(7)式代入K(c)的表達式中，得：

(8)

整理(5),(6),(8)式并代入(3)式的HJB方程中，得到：

(9)

整理可得：

(10)

(11)

令(10)式等于0，即可得到：

類似地，令(11)式等于0，可得到：

其中

于是，得到最優的用于投資有風險資產的財富數量為：

定理證畢.

以下我們給出該最優值θ*的幾個性質.

性質1θ*與隨機雙曲折現模型中的參數δ和β無關，僅由μC,μp,σp,σc,ρ,r以及風險厭惡系數η決定.因此，在隨機消費模型下，用于投資風險資產的資產總額與投資人的時間偏好無關.

性質2 當投資過程與投資者的消費行為無關，即ρ=0時，最優的投資策略為：

此時，用于投資有風險資產的財富數量與風險資產的方差σp，風險資產的超額收益率μp，風險厭惡系數η以及無風險利率r有關.用于投資有風險資產的比例為：

性質3 當ρ=0時，用于投資風險資產的財富與無風險利率r成反比，隨著無風險利率的增高，投資人會將更多的資產用于購買無風險資產，這也與實際生活中人們普遍的投資心理吻合.

4 總結與展望

本文研究了隨機雙曲折現下的消費行為與風險資產投資組合配置的問題.在前人的基礎上，我們進一步假設消費過程是一個服從Wiener過程的隨機行為，在消費的效用函數為常數絕對風險厭惡函數的情形下，求得了最優資產配置策略的近似解.同時，我們對得到的近似解進行分析，發現用于投資有風險資產的最優財富量是一個與雙曲折現函數無關的常數，且與隨機消費行為以及風險資產自身的性質密切相關.特別地，當隨機消費行為與風險資產相互獨立時，用于投資有風險資產的最優資產量與其他研究者的結果吻合.在未來的工作中，我們還可以進一步將個人的無限生命周期改為有限時間段，并且考慮投資者的勞動收入等.