符號計算軟件Maple 在求解全微分方程教學(xué)中的應(yīng)用

唐巧霞 淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院

《常微分方程》是理工科的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，其應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大，可以說已經(jīng)深入到機(jī)械，電子，化工，生物，經(jīng)濟(jì)以及其他社會科學(xué)的各個領(lǐng)域中。由于它的復(fù)雜性和抽象性，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中會陷入繁瑣的公式計算推導(dǎo)中。為了改善教學(xué)效果，避免學(xué)生推導(dǎo)過程中出現(xiàn)的錯誤，使學(xué)生有更多的時間用于掌握這門課中的理論方法，將Maple 軟件引進(jìn)到課堂教學(xué)中，為學(xué)生和老師提供更多方便，使得教學(xué)內(nèi)容重點更加突出，課堂教學(xué)更加生動和全面，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性同時提升學(xué)生運用數(shù)學(xué)軟件解決實際問題的能力。本文將舉例說明符號計算軟件Maple 在求解全微分方程解析解及描繪積分曲線教學(xué)中應(yīng)用的可行性。

如何求解求解全微分方程的原函數(shù)，最常用的方法是不定積分法。下面通過一個例子說明Maple 利用不定積分法求解全微分方程的可行性，并給出積分曲線族。

例：求解全微分方程

并畫出該方程的積分曲線。

解：利用數(shù)學(xué)符號計算軟件Maple 求解

value(Diff(M，y) = Diff(N， x))；#判斷所給方程是否為全微分方程

如下采用通常的方法來逐步求解這個方程

F ：= int(M， x)+k(y)；#求出位勢函數(shù)F

diff(F， y)= N；

solve({%}， diff(k(y)，y))#對k(y)關(guān)于y 求導(dǎo)

k(y)：=int(-2*y，y)；#解出k(y)

sol ：= convert(%， tan)；

利用convert()函數(shù)將上式化簡

sol ：= convert(%， tan)；

輸出結(jié)果

將sol 作隱微分，與原來的微分方程作比較，驗證所的結(jié)果是否是原方程的解

implicitdiff(sol， y， x)；

采用Maple 的命令plots[implicitplot]繪制方程sol 取常數(shù)C 分別為0，1，2，3 的積分曲線族

eqns ：= map(subs， {C =0，C = 1，C=2，C= 3}， sol)；

plots[implicitplot](eqns， x = 0..8， y= -4..4， grid = [60，60])；

Fig.1. 分別取0，1，2，3 時的積分曲線

同樣，我們還可以用dsolve( )函數(shù)來直接求解這個方程

sol：= dsolve(ode， y(x)， implicit)；#給出上述方程的隱式解

g：= map2(subs， y(x) = y， {_C1= 0，_C1=1，_C1= 2，_C1 = 3}，sol)；#將表達(dá)式sol 中y(x)代#換為y，分別將C1 用0，1，2，3 代入

plots[implicitplot](g， x = 0..8， y = -4..4)；

可見，在教學(xué)過程中，復(fù)雜的公式推導(dǎo)和公式驗證完全可以交給Maple 軟件來完成。這比我們傳統(tǒng)的用黑板板書的模式效果好的多；教師還可以將計算程序文件拷貝給學(xué)生，讓學(xué)生自行在計算機(jī)上操作體驗，從而激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲。