關于矢量加減的平行四邊形法則證明

楊昊宇

摘 要 現在物理中對力、速度等矢量的部分研究，以及數學的向量分析，還有很多地方都會用到平行四邊形法則去計算、分析矢量（向量）。但你若從網上搜索，得到的證據與證明，幾乎都是實踐或實驗證明，若有部分數學、物理上的證明，也大多是沒有說清楚，更有甚者說這個是無法用理論證明的。那，如果我們一直在使用一個不能完全證明，只能實際大概正確的理論的話，我是不敢想象的。那如何證明矢量的平行四邊形法則呢？我們這就進入正題。

關鍵詞 矢量加減 平行四邊形法則證明

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A

在高中我們就學過，為了區別有方向的量和無方向的量，數學中我們就學到了向量（物理中稱作矢量），但書中并沒有給出相應的證明，其中定義了符號a、b（用黑體表示向量）用來表示向量。大家先不要去想各種向量算法，因為我們要證明的就是其中較為本質的算法。全部的證明只要用到三個最基本的關于向量的公式，就是兩個向量的數量積與共線向量的加減。具體就是：

（1）a·b的結果是個標量;

（2）當a與b垂直時，a·b=0;

（a·b=|a||b|cos ）

（3）a、b共線，其加減運算與標量運算方法相同。

但為了不出現“用自己證明自己”的錯誤局面產生，我們也把這三個東西證明一下。

（1）先說第一個。高中書上的證明，是直接定義了向量的數量積就是a·b=|a||b|cos ，從公式可知，結果是標量。

我再舉個例子，做功的最基本的公式大家一定都記得吧——W=Fs。這里初中用的（F、s共線，即cos =1時），在這里也足夠用的了。舉這個例子就是為了說明，兩個向量的數量積的結果是個標量（cos 當作常量）。功是個標量吧，它怎么也無法有方向。力與位移是很普遍的矢量，不然，沒有方向都無法構成一個完整的力，位移的基本定義也是一定有方向的。

再從理論上推一下這第一個理論，矢量的數量積的物理意義其實是兩不同矢量相互作用的結果體現，像是W=Fs等等。這個結果體現不可能有方向，它是個兩不同矢量作用結果，是個標量。

由這三個推證可知，兩個矢量的數量積，結果一定會是個標量。這個推論高中老師都說過，考試也經常用到。我這里提一下是為了更準確嚴謹，怕與大家產生認知理解偏差。關于這個小理論的證明我也就只舉這幾個例子，因為其他還有太多例證了。

（2）那么，再看第二個，當a與b垂直時，a·b=0，這個如何證明呢？

高中書上的證明，它是直接定義了向量的數量積就是a·b=|a||b|cos ，當 =90埃琧os =0，所以a·b=0了。

但我實在無法就這樣信服，于是，也不得不證明一下這個理論。我先是用了反證法，就是假設當a、b垂直時，a·b=k，則（a+b）2=a2+b2+2a·b=c2+2k，所以a+b=，由于一定是個常數，與矢量相加還是矢量相違背，所以k必須等于0，才符合矢量加減。

第二種方法就是物理意義解釋。我認為矢量的數量積的物理意義就是“共線兩不同種矢量相互作用的結果”，不共線的都需轉成共線的（cos ），而當相互垂直時，二者之間不會有任何影響，從而作用結果為0。

（3）那再看第三個，對于共線向量加減，這個就是最基本的了，因為當a、b共線時，矢量相加減就等效于標量加減，你就可以先直接把它們看成標量，相加減（這就又回到了標量的運算法則），再改成矢量。就是：a、b共線，a+b=c，c數值上=|a|+|b|。

下面就好辦了，我們手中已經有了3個完全證明過的靠譜的小公式理論了（這些也都是大家熟知的），那么證明矢量運算遵守平行四邊形法則的道路就正式開始。

首先，用這三個小理論證明一個公式——矩形中的向量分解，如圖1：

在前面我們之所以先列出并說明3個小理論，一大部分就是為了證明這一個。注意，這里只是矩形。

由于ABOC為矩形，又因為勾股定理，所以→OC2+→AC2=→OA2，也可以寫成c2+b2=a2。因為a2=a·a，b·c=b·c兩個向量的數量積是個標量，也就是等于OA2。同理，可以寫成OC2+AC2=OA2，用a=OA，b=AC，c=OC，所以b2+c2=a2，對于b2+c2，你能想到什么？b2+c2=（b+c）2-2bc。這個公式可是初高中考試常用的代換式，你若不太熟悉可以自己拆開算算，這里不再贅述。

那么，之前的那個小理論還記得嗎？a與b垂直，則a·b=0，那在這里，b與c垂直，那b·c=0。所以，在矩形中有關標量的計算時，（b+c）2-2bc=（b+c）2-0=（b+c）2，所以（b+c）2=b2+c2。而（b+c）2=a2，所以a2=b2+c2，再同時開根，得b+c=a。注意，這個的前提是在矩形中對向量計算的。

那這樣，我們就用那三條小理論推出了這個靠譜的大理論：向量相加遵守矩形法則。但別忘了，矩形只是平行四邊形的一個特例，我們要做的是推出這個理論適用于整個平行四邊形。

接下來，我們要畫圖來進一步證明。為了方便理解，還請大家隨意畫兩個矢量，共端點，如圖2：

我們要證的是有一個與b相加是a的c，它與b構成一個平行四邊形。

首先我們在端點處，作與a所在直線垂直的線L1。再做一條直線k，過b的另一個端點B與L1垂直。然后再做一條直線過a另一個端點A與k垂直。這樣就出現了一個矩形。

你再連接A、B，然后再作一條直線過B與OA垂直。

OK，就初步成型了。如圖3。

那么這個圖又能說明什么？等一下，我們手中不是已經有了“向量相加遵守矩形法則”這個理論了嗎，它可以放心用了。再看看那個圖，你有沒有發現什么？

OB是矩形BDOC中的對角線，BA是矩形EBCA的對角線。那就好了，→OB可拆成→OD+→OC，把其中各線段當作向量，→BA=→BC+→BE。而且圖中也可以直接看出，→OA=→OC+→CA，→AE=→DO，→CA=→BE。

這下就好辦了，我們把→BA平移下來，讓B與O重合，如圖4：

這樣→OB=→OD+→OH;→OF=→OC+→OG。這里使用的是我們證明過的“矩形法則”，的確是這樣吧。

我們最開始列下的三個小理論，還有一個沒有用過——共線向量的加減與標量加減運算方法相同，還記得→OF是由→BA平移過來的嗎，這樣，就可以證明ABC與FOG全等了（AAS）。這樣，→OG=→EA=→DO，→GF=→BE=→OH，于是→OD+→OC=0，→OC+→CA=→OC+→OH=→OA，所以，→OB與→OF拆分后是與→OA相等的，即→OB+→OF=→OA。

終于我們得到了矢量加減公式，但四邊形OFAB真的是平行四邊形嗎？其實已經證明出來了，▲BEA全等于▲FGO，DE//OA//FG，角代換一下，就可以得到BA平行且等于OF，即四邊形BOFA是平行四邊形。

我們終于完全證明了矢量加減運算遵守平行四邊形法則。或許由于我在證明中間解釋過多，這個證明過程顯得極為復雜冗長，但實際上這個證明極為簡單小巧。你可以自行隨意畫幾個矢量的加減，反過來推一下，全都會符合。若反過來推，你會發現一個奇妙的平行四邊形特性：在一個端點作與平行四邊形的任一對角線垂直的的線，再作各點與這條線的垂線，可以證明OA=OB（如圖5）。這或許就是現實中矢量加減符合平行四邊形法則的根本原因吧。

我再給大家重新快速理一下，方便大家自己去證明。

用到的小理論：（1）共線矢量加減方法與標量加減方法相同;（2）矢量的數量積是標量;（3）兩垂直矢量的數量積為0;（4）幾何上的基礎原理。一共就這幾個理論就可以證明出來，這幾個理論由于我們也證明過，所以可以說完善了吧。

反過來證明的話，你可以證明任何一個平行四邊形，用矢量的那三個小法則，都可證出平行四邊形鄰邊“相加”等于所夾對角線。這個也很好證明。

三角法則就不必多說，矢量平行四邊形法則的一個小變形，本質上一樣，也可以這樣證明。

這樣就說明了，看似水火不相容的向量與標量，本質上也是有聯系的，向量只是在標量加減上多了兩個小原則（a·b為標量，a、b垂直則a·b=0），然后再用幾何的面紗一擋，人們就認不出它來了。

從此，我們就可以盡情的使用這個公式理論了，再也不用被“你怎么證明它們就是作用等效”或是“實踐中的誤差萬一才是真相”等問題困住了。由此，向量與標量也算有了一個小統一了。

所以說，計算法則上的不同源于這些量基本性質不同，向量是加上了（有關數量積的）部分特性，就出現了一個如此神奇的新理論新鄰域。如果再定義幾種量，使它們有更多、更不同的特性呢？我是不得而知，這就要靠大家的智慧了。

萬分感謝閱讀。