圓錐曲線中“代換計算”思想的“威力”

張海毅

摘 要 從近五年的高考試題來看，圓錐曲線問題在高考中屬于必考內容，并且常常在同一份試卷上多題型考查。對圓錐曲線的考查在解答題部分主要體現以下考法：第一問一般是先求圓錐曲線的方程或離心率等較基礎的知識;第二問往往涉及定點、定值、最值、取值范圍等探究性問題，解決此類問題的關鍵是通過聯立方程來解決，其嚴密的分類討論，較強的邏輯思維，大量的計算等使得同學們望而生畏，因而掌握一定的計算技巧與規律，可以在很大程度上降低其難度，進而取得較好的成績，本文筆者將通過一道質檢試題，類比出一類題目的共性，從而給大家一些啟示與建議。

關鍵詞 圓錐曲線 代換計算

中圖分類號：G623.5文獻標識碼：A

2020年寶雞市高考模擬檢測（一）數學（理科）試題第21題：已知動圓Q與直線x+=0相切，且與圓x2+y22x+=0外切。

（1）求動圓Q圓心軌跡C的方程;

（2）已知點P（1，2），過F（1，0）且斜率存在的直線與軌跡C交于A，B兩點，直線AP，BP分別交直線x+1=0于S，T兩點，求證：以ST為直徑的圓過定點。

【參考答案】（1）易知曲線C的方程為2=4x。

（2）設直線：，，，則，，。設直線AP，BP的斜率分別為，，又，則，

從而。又以ST為直徑的圓的方程為，即，

故當時，該等式恒成立，所以以為直徑的圓恒過和。

【命題立意】

本題考查了軌跡方程的求法，方程思想，整體代換，設而不求，直徑圓的方程等知識點，體現了數學抽象、數學運算、邏輯推理等核心素養。

【點評】參考答案給出的方法是研究直線與圓錐曲線問題的一般方法，在這一類問題的研究中具有代表性，但過于追求通法通性，在一定程度上降低了問題的個性，從而導致了思維量與計算量都比較大，其可操作性較低，與普通高中生所具備的數學邏輯推理能力與數學運算能力差距較大，在答卷中運用此法成功取得答案的同學寥寥無幾，故而提示我們，能否從其它的角度得到一些思考。

另解：（2）易知位于上，且直線AP、BP斜率均存在且不為0，故不妨設，，則，則 ，故，故，代入可得，所以，。

設以ST為直徑的圓所過定點為，則，故當，時，所過定點為（1，0）或（3，0）。

方法點津：此法巧妙地借助了直線AP，BP在計算中的重復性，恰當地運用了“代換計算”的思想，在很大程度上減少了計算量，節約了計算的時間，提高了計算效率，使得該題的計算難度陡然降低，效果甚好。此法在解析幾何的很多題目都有應用，以下舉例說明“代換計算”的思想在解析幾何題目中的應用。

應用舉例：設動點到定點的距離比它到y軸的距離大1，記點P的軌跡為曲線C。

（1）求曲線C的方程;

（2）設是曲線C上一點，與兩坐標軸都不平行的直線過點D，且，它們的傾斜角互補。若直線與曲線C的另一交點分別為M，N，證明直線MN的斜率為定值。

解析：（1）依據拋物線的定義，易知曲線C的方程為，。

（2） 設直線的斜率為k，且，的傾斜角互補，故的斜率為。

則，則，故，故，代入可得，所以，將此式中的k用k替換，可得，則，，故。

對于圓錐曲線的綜合性問題，①要注意將曲線的定義性質化，找出定義賦予的條件;②要重視利用圖形的幾何性質解題;③要靈活運用韋達定理、弦長公式、斜率公式、中點公式、判別式等解題，巧妙地運用“設而不求”“整體代入”“點差法”“對稱轉化”等方法。尤其是涉及到輪換計算的問題時，可適當地采用“代換計算”的思想方法，在一定程度上可以達到事半功倍的效果。