連續(xù)函數(shù)零點個數(shù)的判別準(zhǔn)則

朱鵬先 項巧敏

摘 要 本文主要研究連續(xù)函數(shù)的零點問題。運用函數(shù)的單調(diào)性、極值以及介值定理等技巧給出判別函數(shù)零點個數(shù)的充分條件，具體地，分別給出函數(shù)具有2和3個零點的判別情況。最后給出具體例子加以驗證我們的結(jié)果。

關(guān)鍵詞 零點 連續(xù) 介值定理 極值

中圖分類號：G634文獻標(biāo)識碼：A

0引言

在本科高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，介值定理非常重要。介值定理可以直接應(yīng)用于判斷函數(shù)零點或者方程根的個數(shù)。在數(shù)學(xué)競賽以及考研中，研究函數(shù)的零點或者方程根的個數(shù)是一個很常見且最基本的題目。于是研究函數(shù)的零點問題具有理論意義。本文借助介值定理，系統(tǒng)地歸納總結(jié)出函數(shù)具有兩個和三個零點的判別準(zhǔn)則。

1預(yù)備知識

定義1：如果，則稱為函數(shù)的零點。

定義2：如果為函數(shù)的極值，則稱為函數(shù)的極值點。

引理1：（介值定理）若函數(shù)在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，則至少存在一個點，使得。

2主要結(jié)果

定理1：若函數(shù)在上可導(dǎo)，在上連續(xù)且函數(shù)在區(qū)間上有一個極值點，

（1）當(dāng)為極大值點時，如果，，則函數(shù)在區(qū)間上存在兩個零點和;

（2）當(dāng)為極小值點時，如果，，則函數(shù)在區(qū)間上存在兩個零點和。

證明：（1）因為在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，

所以在上可導(dǎo)，在上連續(xù)。

又因為，所以，。

于是，由引理1可得，至少存在一個點，使得。

觀察到，在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)遞增。因此，是唯一的。

注意導(dǎo)在上可導(dǎo)，在上連續(xù)且。

所以，再一次運用引理1可得，至少存在一個點，使得。

由于在區(qū)間嚴(yán)格單調(diào)遞減，從而得到也是唯一的。

綜上所述函數(shù)在區(qū)間上存在兩個零點和。

（2）同理，可得結(jié)論成立。

推論1：當(dāng)或者，定理1的結(jié)論仍成立。

定理2：已知函數(shù)在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，在區(qū)間上有兩個極值點和。如果（或）且，則函數(shù)在區(qū)間上存在兩個零點。

證明：不失一般性，我們假設(shè)是極大值點，是極小值點且，其他情況可以運用相似的方法討論。由假設(shè)可知函數(shù)的圖像如圖3示：

顯然是函數(shù)的一個零點。

因為，在上可導(dǎo)，在上連續(xù)且。

所以，運用引理1可得，至少存在一個點，使得。

由于在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)遞增，從而，是唯一的。

故，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點。

推論2：當(dāng)或者 ，定理2的結(jié)論仍成立。

定理3：假設(shè)在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，在區(qū)間上有兩個極值點和。如果，且，則函數(shù)在區(qū)間上存（下轉(zhuǎn)第208頁）（上接第202頁）在三個零點。

證明：不妨假設(shè)是極小值點，是極大值點（其他情況可類似討論，考略到篇幅問題，此處就不一一討論），函數(shù)數(shù)圖像如圖4。

由已知條件我們知道函數(shù)在區(qū)間和上都滿足介值定理的條件，于是對函數(shù)在區(qū)間和上分別運用引理1可得，

至少存在一個點，，，使得成立。

又因為函數(shù)在區(qū)間，和，所以，，是唯一的。據(jù)此，定理的結(jié)論成立。

推論3：當(dāng)或者，定理3的結(jié)論仍成立。

3例子

接下來，我們給出兩個實例來驗證我們的定理結(jié)果：

例1：驗證方程在區(qū)間上有且只有兩個根。

證明：設(shè)，

易知，故，由定理2可得函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，即，原方程在區(qū)間上有且只有兩個根。

例2：設(shè)，試證明函數(shù)在內(nèi)恰好有兩個零點。

證：，，

而，令，則，

當(dāng)時，，單調(diào)增加;當(dāng)時，，單調(diào)減少，

所以在處取得極大值且。

故，由推論1可得，函數(shù)在內(nèi)恰好有兩個零點。

參考文獻

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：上冊（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.