賞析高考中考查不等式的幾種常見背景

邵鳳梅 邱 娜

不等式是高中數學的重要內容,也是高考的重要考點,但從命題形式來看,常以函數知識、生活實際問題為背景,考查不等關系的判斷、不等式的解法、不等式的應用、不等式恒成立以及不等式的證明等．

1 以函數性質為背景考查不等關系的判斷

利用函數的單調性是判斷不等關系的重要方式,如:函數f(x)在區間D內為增函數,且a,b∈D,若a>b,則f(a)>f(b);若f(a)>f(b),則a>b．據此可建立不等關系,并對變量值或函數值的大小進行判斷．

2 以生活問題為背景考查不等式的應用

來源于生活、應用于生活是數學核心價值的體現,應用題是考查考生數學核心素養的重要形式,因此,與不等式相關的應用題是高考命題的常見方式．

3 以導數為背景考查不等式的解法

解不等式就是求不等式的解集,常見的不等式有指數不等式、對數不等式、三角不等式、一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式等．直接考查解不等式的問題較少,常與導數的應用問題結合考查,即在某區間內函數f(x)的導數f′(x)>0(f′(x)<0),則f(x)在該區間內單調遞增(單調遞減).求函數的單調區間,即為求不等式f′(x)>0(f′(x)<0)的解集．

f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).

當a=0時,在(-∞,+∞)上f′(x)≥0,f(x)單調遞增.

4 考查不等式的證明或恒成立問題

求解不等式恒成立問題與不等式證明問題的本質相同,都是構造函數,將問題轉化為求函數的最值．但不等式證明的構造方法更為靈活,除了常規方法外,還可以采用局部處理或放縮處理．

(1)求a的值;

(2)求證:f(x)>-1．

(2) 由(1)知,f(x)=(2x-1)lnx+x-1=2xlnx-lnx+x-1,x∈(0,+∞),則可令

g(x)=2xlnx,h(x)=-lnx+x-1．

總之,高考命題常考常新,不等式的考查類型并不局限于此,筆者提出以上幾種考查視角,以期對同學們復習不等式有所幫助．