對于2020年北京市適應性考試圓錐曲線題的思考

楊雪芹 鄭拴平

解析幾何是運用代數(shù)方法研究幾何問題或用幾何方法研究代數(shù)問題的一門學科．解析幾何知識與其他知識聯(lián)系緊密,綜合性強,是選拔人才的必考內(nèi)容,能重點考查學生知識儲備中的基礎性、通用性的知識．著名的數(shù)學教師孫維剛曾表示學數(shù)學應該“八方聯(lián)系,渾然一體,漫江碧透,魚翔淺底”． 這是一種體現(xiàn)數(shù)學美感的意境,更是彰顯學生能力的一個層面．本文對2020年北京市適應性考試圓錐曲線試題進行探究,供讀者參考．

1 問題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程;

2 解法探究

(2)證法1 (直線方程角度代數(shù)法)

圖1

證法2 (點的坐標角度代數(shù)法)

證法3 (參數(shù)方程角度換元法)

所以點D在x軸上.

證法4 (壓縮變形角度幾何法)

如圖2所示，設直線BD交圓O于點P,連接AM,AP. 在四邊形AMBP中,∠MBD=90°,∠AMB=∠APB=90°,所以四邊形AMBP是矩形,則BP=AM. 又因為AM=AN,所以BP=AN.

圖2

根據(jù)相交弦定理得DP·DB=DN·DA,即(DB-BP)·DB=(DA-AN)·DA.所以DB=DA,因此點D在線段AB的垂直平分線上,即點D在x′軸上.所以,在原坐標系下,點D在x軸上.

3 推廣與變式

有興趣的讀者可對上述幾個變式進行推導,限于篇幅,此處不再贅述．

2020年是北京市新一輪高考改革的起始年,試題既要平穩(wěn)過渡,又要呈現(xiàn)出“一核四層四翼”的功能．從本文可以看出,試題設計明確、簡潔,解答角度靈活,有利于人才的選拔及教學方向的引導,能培養(yǎng)學生提出問題、分析問題、解決問題等能力．