從一道聯考題總結求解二面角的幾種思路

盧正明 龍 宇

二面角問題是高考的常考問題,本文以一道聯考題為例,介紹求解二面角的幾種思路.其中除了綜合法以及向量法(多數情況下是坐標法)之外,還介紹了三面角的正、余弦定理以及射影定理.

1 問題呈現

圖1

(1)略;

(2)求二面角B-C1D-B1的余弦值.

分析本題以直三棱柱為載體,考查二面角問題,常用解答方法有綜合法、向量法(包括坐標法)，除此以外,還可利用射影定理及三面角的相關知識求解.

2 解析與探究

2.1 綜合法

本題通過等價轉化回避了作二面角的平面角的過程,讀者也可構造輔助線,通過作出該二面角的平面角進行求解.

2.2 向量法及坐標法

求二面角問題可轉變為求兩個向量叉積的夾角問題,在半平面α,β中各找兩個向量求叉積,再通過兩個叉積的內積求得二面角.具體如下:設a1,b1?α,a2,b2?β.因為a1×b1是α的一個法向量,a2×b2是β的一個法向量,設二面角α-l-β的大小為θ，則有

再根據向量叉積的拉格朗日恒等式(a1×b1)·(a2×b2)=(a1·a2)(b1·b2)-(a1·b2)(b1·a2)求解即可.現將該結論應用至本題.

2.3 三面角的正、余弦定理

圖2

三面角是由具有公共端點的不共面的三條射線,以及任兩條射線所成的角的內部構成的空間圖形.公共端點稱為三面角的頂點,射線稱為三面角的棱,兩棱所夾的平面部分(角)稱為三面角的面(角).過每一條棱的兩個面所成的二面角稱為三面角的二面角，如圖2.

三面角的余弦定理:設三面角V-ABC的三個面角的度量分別為α,β,γ,它們所對的二面角分別為A,B,C,則

cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.

2.4 射影定理

解法4 考慮平面BC1D與平面B1C1D,兩個面相互作投影都不“直接”,接下來,我們借助一個新的平面來計算投影面.