探究方差大小比較問題

王玉泉

概率與統計問題是歷年高考和模擬考試中的重要題型之一,其中“比較方差大小”是一個高頻考點,能綜合考查學生的數據分析與處理能力．在教學過程中，教師應該引導學生利用方差的實際意義,借助數學直觀,歸納出一些規律與方法,以便快速準確地解決問題,從而有助于提升學生對數據的判斷與決策能力,培養學生的數學核心素養．

1 方差定義的三種形式及應用

證明

因此，方差有三種形式的定義式，即

證明(1)略.

(2)利用方差定義式3可得

方差定義式1是教材中給出的形式,定義式2是其簡化形式．方差是各變量值與其均值離差平方的平均數,是測算數據離散程度的重要方法,它反映了一組數據與其平均值的偏離程度．因此，方差越大,數據的波動越大;方差越小,數據的波動就越小．在教學實踐中,教師常常要求學生會比較方差大小,但不要求掌握證明方法．一些簡單問題容易解決,但是一些復雜問題僅僅依靠數學直觀難以解決,如果利用定義計算又比較煩瑣,所以探尋一些快速解題的方法很有必要．定義式3是筆者個人總結的,它給出了方差的另一個意義:數據兩兩之間差值平方的平均(注意分母是n2),當樣本容量n比較小時(如n=3或n=4)可以不借助均值做一些簡單的估算,從而快捷高效地解決問題．

2 比較方差大小的有關結論

利用定理1和定理2可以推導出一些結論,對于解題很有幫助，常見結論如下.

3 比較方差大小問題的實際應用

表1

乙隊記錄中有一個數字模糊(表1中陰影部分),無法確認,假設這個數字具有隨機性,并用m表示.

(1)在4次比賽中,求乙隊平均得分超過甲隊平均得分的概率;

(2)當m=5時,分別從甲、乙兩隊的4次比賽中各隨機選取1次,記這2次比賽得分之差的絕對值為X,求隨機變量X的分布列;

(3)如果乙隊得分數據的方差不小于甲隊得分數據的方差,寫出m的取值集合(結論不要求證明).

(3)甲隊數據同時減去88得0,3,4,8,方差不變,乙隊數據同時減去89得0,3,4,m+1，方差不變.如果乙隊得分數據的方差不小于甲隊得分數據的方差,則可用以下兩種方法求解.

方法2 利用方差的實際意義，m+1≥8,故m取值的集合為{7,8,9}．

甲隊乙隊8832902m

圖1

(1)在3次比賽中,求乙隊平均得分超過甲隊平均得分的概率;

(2)當m=5時,分別從甲、乙兩隊的3次比賽中各隨機選取1次,記這2次比賽得分之差的絕對值為X,求隨機變量X的分布列和數學期望；

(3)若在3次比賽中,甲隊得分的方差比乙隊得分的方差小,寫出m的可能取值(結論不要求證明).

(3)若在3次比賽中,甲隊得分的方差比乙隊得分的方差小,利用方差定義式3，只需(88-92)2+(88-93)2+(92-93)2<[(90-92)2+(90-90-m)2+(92-90-m)2],即m2-2m-17>0,故m的可能取值為6,7,8,9.

圖2

(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率;

(2)設X是此人停留期間空氣質量優良的天數,求X的分布列與數學期望;

(3)由圖判斷從哪天開始連續3天的空氣質量指數方差最大(結論不要求證明).

(3)連續3天的空氣質量指數方差最大只能在空氣質量指數為57,143,220或40,160,220之間產生.

方法1 利用方差定義式3,(220-160)2+(220-40)2+(160-40)2-[(220-143)2+(220-57)2+(143-57)2]=602+1802+1202-(772+1632+862)=(602-772)+(1802-1632)+(1202-862)>0.故40,160,220的方差最大,即從3月5日開始連續3天的空氣質量指數方差最大．

當前已進入大數據時代,基于數據的合理判斷與優化決策也成為一種必備能力．在教學實踐中,概率統計部分常以比較方差大小問題為切入點,培養學生的數據收集、分析、處理能力,從而有助于提升學生數學核心素養．

鏈接練習

已知有下列數據.

鏈接練習參考答案