函數圖象變換的規律及應用

陳上太

從高考的命題趨勢來看,函數圖象變換是高考的熱門考點,在函數、三角函數中都有涉及,能綜合考查考生的數形結合能力以及邏輯推理能力．函數圖象的變換主要是指函數圖象的平移變換、伸縮變換、對稱變換等.本文主要總結函數圖象變換的規律,并指導考生運用這些規律去解答相關的高考題．

1 函數圖象變換的規律

1.1 平移變換

1)把函數y=f(x)的圖象向左平移a(a>0)個單位,可得函數y=f(x+a) 的圖象;把函數y=f(x)的圖象向右平移a(a>0)個單位,可得函數y=f(x-a)的圖象;

2)把函數y=f(x)的圖象向上平移b(b>0)個單位,可得函數y=f(x)+b的圖象;把函數y=f(x)的圖象向下平移b(b>0)個單位,可得函數y+b=f(x)(即y=f(x)-b)的圖象．

1.2 伸縮變換

2)函數y=Af(x)(A>0且A≠1)的圖象是把函數y=f(x)的圖象上所有點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0

1.3 對稱變換

1)y=f(x)與y=f(-x)的圖象關于y軸對稱;

2)y=f(x)與y=-f(x)的圖象關于x軸對稱;

3)y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關于原點對稱;

5)y=f(x)關于點(a,b)對稱的函數是2b-y=f(2a-x) (即y=2b-f(2a-x))．

2 函數圖象變換規律的應用

2.1平移變換

2.2 平移和伸縮變換

將函數y=sinx依次進行如下變換:

2.3 對稱變換

A. 3x-2y+2=0 B. 2x+3y+7=0

C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0

2.4 平移與對稱變換

(1)寫出曲線C1的方程;

y=(x-t)3-(x-t)+s．

(2)在曲線C上任取一點B1(x1,y1),設B2(x2,y2)是B1關于點A的對稱點,則有

所以x1=t-x2,y1=s-y2.

代入曲線C的方程,得x2和y2滿足方程:

s-y2=(t-x2)3-(t-x2),

即

y2=(x2-t)3-(x2-t)+s．

故點B2(x2,y2)在曲線C1上．

反過來,同樣可以證明在曲線C1上的點關于點A的對稱點在曲線C上．因此,曲線C與C1關于點A對稱．