“梯形的面積”探究性學(xué)習(xí)的實(shí)踐與思考

長(zhǎng)沙市雨花區(qū)砂子塘新世界小學(xué)

《新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版）》指出：“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)”。同時(shí)新課標(biāo)也指出：“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。”“梯形的面積”的學(xué)習(xí)是建立在平行四邊形和三角形面積計(jì)算的基礎(chǔ)之上，梯形面積計(jì)算公式的探究和應(yīng)用，學(xué)生自然會(huì)想到把梯形轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的圖形來(lái)研究，具體怎樣轉(zhuǎn)化？是割補(bǔ)？還是拼擺？是轉(zhuǎn)化為平行四邊形?還是轉(zhuǎn)化為三角形？都可以讓學(xué)生自主探索。教學(xué)中我設(shè)計(jì)了用“等拼法”求梯形內(nèi)部的平行線(xiàn)段的和；用“等拼法”求梯形的面積；用“倒著算”求梯形的高等，用“等差數(shù)列的和”求梯形的面積；又用梯形的面積公式探究“高斯求和定理”。使教學(xué)方法和教學(xué)指導(dǎo)同步進(jìn)行，注重對(duì)學(xué)生探究能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)“方法比知識(shí)重要”的價(jià)值觀，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的“再創(chuàng)造”，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的綜合素質(zhì)。

[探究一]有些梯形問(wèn)題往往不能直接解決。可以根據(jù)題意用“等拼法”完成。即取兩個(gè)或多個(gè)與所求圖形完全相同的圖形拼起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)整體，然后利用所求圖形與這個(gè)整體之間的關(guān)系進(jìn)行求解。

[題目］：如圖1，梯形ABCD 中，AB＝1O 厘米，CD＝2O 厘米，斜邊AD 被等分成5 等份，過(guò)各分點(diǎn)引AB 的平行線(xiàn)相交于斜邊BC。求梯形內(nèi)部4 條線(xiàn)段的總長(zhǎng)是多少厘米？

［探究與解析］取與梯形ABCD 完全相同的梯形CFEB，將這兩個(gè)同樣的梯形拼成平行四邊形AEFD，如圖2，梯形ABCD 與梯形CFEB 內(nèi)部的4 條線(xiàn)段對(duì)應(yīng)相等，并且被拼成4 條長(zhǎng)度等于：1O＋2O＝3O（厘米）的線(xiàn)段，所以梯形ABCD 內(nèi)部4 條線(xiàn)段的總長(zhǎng)是30×4÷2＝60（厘米）。

[探究二]在不知道梯形上底、下底和高的條件下，知道它們之間的一些間接條件，靈活運(yùn)用梯形的面積和“等拼法”方法求梯形的面積。

[題目］：梯形的上底乘高是36 平方厘米，梯形的下底乘高是56 平方厘米，求梯形的面積是多少平方厘米？

［探究與解析］：（1）梯形的面積公式s=（a+b）×h÷2 變形得：s=（ah+bh）÷2=（36+56）÷2=46（平方厘米）（2）由題意可知：36 和56 的最大公約數(shù)是4 也就是梯形的高，那么梯形的上底就是9 厘米，梯形的下底就是14 厘米。梯形的面積s=（a+b）×h÷2=（9+14）×4÷2=46（平方厘米）（3）如圖：用“等拼法”將梯形面積變成一個(gè)大長(zhǎng)方形與一個(gè)小長(zhǎng)方形面積的差的一半再加上小長(zhǎng)方形面積來(lái)求。

梯形的面積s=（56—36）÷2+36=46（平方厘米）

探究這類(lèi)問(wèn)題各種方法的時(shí)候，不必馬上讓學(xué)生統(tǒng)一到梯形的面積計(jì)算的規(guī)則公式中來(lái)，那樣有套用模式之嫌。可以讓學(xué)生觀察、思考，把各種方法進(jìn)行溝通，理解，統(tǒng)一。

[探究三]在梯形的有關(guān)學(xué)習(xí)中，有時(shí)遇到求梯形的高、下底或上底是多少的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究梯形的面積公式的特點(diǎn)，靈活進(jìn)行變形，用“倒著算”來(lái)解決會(huì)迎韌而解。

[題目]梯形的面積為120 平方厘米，高為20 厘米，上底為3 厘米，下底為多少厘米？

［探究與解析］：用畫(huà)圖幫助學(xué)生理解、解決這道題后，還可以采用“倒著算”來(lái)解決。根據(jù)（上底+下底）×高÷2=梯形的面積，倒著來(lái)從答案出發(fā)，除以2 變成乘2，乘高變成除以高，加上底變成減上底，就變成了梯形的面積×2÷高—上底=下底。同樣道理，也可以用“倒著算”來(lái)求梯形的高和上底，也可以求三角形的底和高。這樣，學(xué)生利用倒著算的知識(shí)可以很容易地記住梯形的上底、下底、高怎么求，三角形的底和高怎么求。

[探究四]五年級(jí)有許多學(xué)生都學(xué)過(guò)等差數(shù)列，可以把梯形的面積計(jì)算公式和等差數(shù)列結(jié)合起來(lái)：求梯形的面積可以通過(guò)把梯形中長(zhǎng)的底剪掉，并到短的底中，使上下底相等，就是移多補(bǔ)少的數(shù)學(xué)思想，再求出梯形的面積。求等差數(shù)列的和，也是把大的數(shù)移給小的數(shù)，使每個(gè)數(shù)的大小相等，再求和，也是利用了移多補(bǔ)少的數(shù)學(xué)思想，所以，我們可以把求等差數(shù)列的和看成求梯形的面積，也可以把求梯形的面積看成求等差數(shù)列的和。

[題目]一堆鋼管，最上層3 根，最下層15 根，每一層比上一層多一根，13 層。這堆鋼管一共有幾根？

［探究與解析］：這堆鋼管的截面就是一個(gè)梯形，這道題我們可以利用梯形的面積計(jì)算公式，把上層3 根看成上底，下層15 根看成下底，13 層看成高，一共有幾根鋼管看成求面積。就是（上層根數(shù)+下層根數(shù)）×層數(shù)÷2 即（3+15）×13÷2=117（根）。其實(shí)這一題也可以看成是一個(gè)等差數(shù)列：3+4+5+……+15，這樣，就可以變成等差數(shù)列公式：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2=等差數(shù)列的和，即（3+15）×13÷2=117（根）。數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著一定的關(guān)聯(lián)，梯形面積的計(jì)算與看似毫不相干的“倒著算”，“等差數(shù)列的和”竟有如此密切的聯(lián)系。讓學(xué)生在探究知識(shí)的同時(shí)感受類(lèi)比和轉(zhuǎn)化的思想，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

[探究五]在上述第四個(gè)問(wèn)題中，進(jìn)一步深入探究，“梯形的面積看成求等差數(shù)列的和”中的“求等差數(shù)列的和”是不是和著名的“高斯求和定理”有聯(lián)系呢？數(shù)學(xué)家高斯就是從小就愛(ài)動(dòng)腦筋，愛(ài)問(wèn)為什么的孩子。他10 歲那年，數(shù)學(xué)教師布特納要求學(xué)生求出1 到100 這一百個(gè)自然數(shù)的和。不一會(huì)兒，高斯就把算出了準(zhǔn)確答案的石板交給了老師。在這之前，老師從未教過(guò)學(xué)生計(jì)算等差數(shù)列方面的知識(shí)，這就是著名的“高斯問(wèn)題”。

［探究與解析］：如果我們今天也來(lái)解答那個(gè)著名的“高斯問(wèn)題”：1＋2＋3……＋98＋99＋100＝？大家不會(huì)真的把一百個(gè)自然數(shù)連續(xù)相加求和的辦法。可以用高斯的方法解決：求1 至100 這一百個(gè)自然數(shù)的和，采取頭尾兩數(shù)相加的辦法：1＋100、2＋99、3＋98、4＋97……這樣能得到50 個(gè)101，用101×50 便能迅速地求出它們的和是5050。當(dāng)然還有其它的解法，如果我們用湊整百數(shù)的辦法：1＋99、2＋98、3＋97、4＋96……便能得到49 個(gè)100，再用100×49的積加上中間的數(shù)50 與最后的數(shù)100，也能求出這一百個(gè)自然數(shù)的和。如果我們?cè)僬归_(kāi)想象的翅膀，把這一百個(gè)連續(xù)的自然數(shù)視為一個(gè)梯形，它的上底是1，下底是100，高是100。根據(jù)求梯形面積的公式：S＝（a＋b）×h÷2，這一百個(gè)自然數(shù)的和＝（1＋100）×100÷2＝5050。這個(gè)算法太奇妙了！假若數(shù)學(xué)家高斯還活在世上的話(huà)，他一定會(huì)堅(jiān)起大拇指說(shuō)：“中國(guó)的小學(xué)生真棒！”

學(xué)生在自主探究的學(xué)習(xí)過(guò)程中不一定都是一帆風(fēng)順的，方法也各異，有猜疑、矛盾、困惑、也有驚喜。但學(xué)生獨(dú)立探究的過(guò)程，不單單獲得了新的數(shù)學(xué)知識(shí)，更學(xué)會(huì)了科學(xué)的研究方法，增強(qiáng)了克服困難的信心，獲得了成功的喜悅。作為數(shù)學(xué)教師自身要加強(qiáng)專(zhuān)業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)，才能引導(dǎo)學(xué)生更好的進(jìn)行自主探究的學(xué)習(xí)，并對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通。