“說數學”在評價三棱錐有效性學習中的應用

宮娟

摘 要“說數學”是一種很好的檢驗學習效果的方式，體現了以學生為主體的教育理念，且可培養并發展學生提問、討論、評講、總結的能力，能最大限度開發學生的智力資源，發揮學生的學習潛能，提高學生的學習興趣。

關鍵詞“說數學”;三棱錐;教學方法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2020）12-0202-01

充分發揮“說數學”在教學中的作用，讓學生在積極地探索中不僅學會做數學，而且善于說數學，充分發揮“說數學”在教學中的作用，使學生的知識水平、能力結構和學習習慣在說數學的過程中得到充分的成長、發展和延伸。

一、以三棱錐為研究對象

下面以三棱錐為研究對象，為評價其線面關系、計算等的學習效果，故采用“說數學”和全班參與的方式進行教學效果檢驗。

例（2018全國Ⅱ文）如圖，在三棱錐 中， ， ， 為 的中點。

（Ⅰ）證明： 平面 ;

（Ⅱ）若點 在棱 上，且 ，求點 到平面 的距離，

這是一個較簡單但又易錯的題，學生一看就躍躍欲試，我先讓學生自己解答，然后抽出具有代表性解法，讓學生說、評。

（Ⅰ）生1說：（1）線面垂直利用判定定理證明，只需證明 與平面 內的兩條相交直線 都垂直。

生2說： 可用等腰三角形三線合一， 可用勾股定理的逆定理。

生3提問：如何求出三角形 的三條邊？

生4回答： 都可在它們所在的等腰三角形利用勾股定理求得，且已知 ，則可證得垂直。

師問：很好，另外，請大家思考：用判定定理證明線面垂直的本質是什么？

引導大家討論，歸納總結出本質是：證明線線垂直。

師又問：如何證明線線垂直？

本題的方法很有代表性，是常考的證明“線面垂直”，此時引導學生歸納總結出，隱性條件所暗示的常見的線線垂直的證明方法，讓學生形成知識框架，并加深印象，在理解的基礎上掌握。

生代表回答：線線垂直的常見的方法有5種：（1）等腰或等邊三角形用三線合一;（2）菱形或正方形用對角線互相垂直;（3）三條邊都可求得就用勾股定理的逆定理;（4）圓或半圓的直徑所對的圓周角為直角;（5）已知線面垂直時，則該直線垂直平面內的任意一條直線。

（Ⅱ）師問：計算點到平面的距離有哪些常用什么方法？

生5答：常用直接法或三棱錐等體積法。

生6提問：這兩種方法適用于什么情況？

生5繼續回答：直接法就是能直接求該距離，但很多題目設置了難度，不易直接作出和求解，而三棱錐等體積法是用的更多的方法。

師繼續問：等體積法適用的條件是什么？需要計算什么？

這個問題有點深度，小組討論以下，就開始有思路了。

生代表：等體積法適用于三棱錐，常見于求三棱錐高（即點到平面的距離）的題型。三棱錐等體積法也叫換底法，如果是求點到平面的距離，計算兩個底面積和一個高，底面積作為三角形，有三角形面積公式 ，而高需要證明并計算。

師：本題如何用等體積法具體計算？

給大家一點時間思考并整理思路，再請學生回答。

生6總結：需要三棱錐 和三棱錐 體積相等，需要計算 和 ，三棱錐 的高易證得為 ，證得且 。

生7問：由（Ⅰ）知 易為等腰直角三角形，故 ， 可由三角形面積公式得到。而 可在 中由余弦定理得到。

給學生一些時間讓學生整理好過程，進行展示。

通過以上的分析、討論、點評，學生互相取長補短，對常見的線面垂直的證明以及等體積法的應用，有了全面深刻的了解，今后遇到此類問題，不僅知道常考的方法，從而打開解題思路，還能規范書寫。

二、結語

通過“說數學”的形式，可以在課堂上發現，同學們對上面這個有代表性的例題掌握得很不錯，在此教育教學過程中，落實了數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象、數據分析的數學學科核心素養，讓同學們通過分析常見的幾何體—三棱錐，了解并掌握立體幾何證明與計算問題。

基金項目：本文系2018年廣東教育學會教育科研規劃小課題《通過校本課程《空間幾何體的制作》，提高學困生的空間解題能力的有效性研究》（課題立項號GDXKT13840）研究成果。

參考文獻：

[1]羅莉華.“說數學”在教學中的作用[J].考試周刊，2010（47）：81-82.