“說數(shù)學(xué)”在評價三棱錐有效性學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

宮娟

摘 要“說數(shù)學(xué)”是一種很好的檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果的方式，體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的教育理念，且可培養(yǎng)并發(fā)展學(xué)生提問、討論、評講、總結(jié)的能力，能最大限度開發(fā)學(xué)生的智力資源，發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞“說數(shù)學(xué)”;三棱錐;教學(xué)方法

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2020）12-0202-01

充分發(fā)揮“說數(shù)學(xué)”在教學(xué)中的作用，讓學(xué)生在積極地探索中不僅學(xué)會做數(shù)學(xué)，而且善于說數(shù)學(xué)，充分發(fā)揮“說數(shù)學(xué)”在教學(xué)中的作用，使學(xué)生的知識水平、能力結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)習(xí)慣在說數(shù)學(xué)的過程中得到充分的成長、發(fā)展和延伸。

一、以三棱錐為研究對象

下面以三棱錐為研究對象，為評價其線面關(guān)系、計算等的學(xué)習(xí)效果，故采用“說數(shù)學(xué)”和全班參與的方式進(jìn)行教學(xué)效果檢驗(yàn)。

例（2018全國Ⅱ文）如圖，在三棱錐 中， ， ， 為 的中點(diǎn)。

（Ⅰ）證明： 平面 ;

（Ⅱ）若點(diǎn) 在棱 上，且 ，求點(diǎn) 到平面 的距離，

這是一個較簡單但又易錯的題，學(xué)生一看就躍躍欲試，我先讓學(xué)生自己解答，然后抽出具有代表性解法，讓學(xué)生說、評。

（Ⅰ）生1說：（1）線面垂直利用判定定理證明，只需證明 與平面 內(nèi)的兩條相交直線 都垂直。

生2說： 可用等腰三角形三線合一， 可用勾股定理的逆定理。

生3提問：如何求出三角形 的三條邊？

生4回答： 都可在它們所在的等腰三角形利用勾股定理求得，且已知 ，則可證得垂直。

師問：很好，另外，請大家思考：用判定定理證明線面垂直的本質(zhì)是什么？

引導(dǎo)大家討論，歸納總結(jié)出本質(zhì)是：證明線線垂直。

師又問：如何證明線線垂直？

本題的方法很有代表性，是常考的證明“線面垂直”，此時引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出，隱性條件所暗示的常見的線線垂直的證明方法，讓學(xué)生形成知識框架，并加深印象，在理解的基礎(chǔ)上掌握。

生代表回答：線線垂直的常見的方法有5種：（1）等腰或等邊三角形用三線合一;（2）菱形或正方形用對角線互相垂直;（3）三條邊都可求得就用勾股定理的逆定理;（4）圓或半圓的直徑所對的圓周角為直角;（5）已知線面垂直時，則該直線垂直平面內(nèi)的任意一條直線。

（Ⅱ）師問：計算點(diǎn)到平面的距離有哪些常用什么方法？

生5答：常用直接法或三棱錐等體積法。

生6提問：這兩種方法適用于什么情況？

生5繼續(xù)回答：直接法就是能直接求該距離，但很多題目設(shè)置了難度，不易直接作出和求解，而三棱錐等體積法是用的更多的方法。

師繼續(xù)問：等體積法適用的條件是什么？需要計算什么？

這個問題有點(diǎn)深度，小組討論以下，就開始有思路了。

生代表：等體積法適用于三棱錐，常見于求三棱錐高（即點(diǎn)到平面的距離）的題型。三棱錐等體積法也叫換底法，如果是求點(diǎn)到平面的距離，計算兩個底面積和一個高，底面積作為三角形，有三角形面積公式 ，而高需要證明并計算。

師：本題如何用等體積法具體計算？

給大家一點(diǎn)時間思考并整理思路，再請學(xué)生回答。

生6總結(jié)：需要三棱錐 和三棱錐 體積相等，需要計算 和 ，三棱錐 的高易證得為 ，證得且 。

生7問：由（Ⅰ）知 易為等腰直角三角形，故 ， 可由三角形面積公式得到。而 可在 中由余弦定理得到。

給學(xué)生一些時間讓學(xué)生整理好過程，進(jìn)行展示。

通過以上的分析、討論、點(diǎn)評，學(xué)生互相取長補(bǔ)短，對常見的線面垂直的證明以及等體積法的應(yīng)用，有了全面深刻的了解，今后遇到此類問題，不僅知道常考的方法，從而打開解題思路，還能規(guī)范書寫。

二、結(jié)語

通過“說數(shù)學(xué)”的形式，可以在課堂上發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們對上面這個有代表性的例題掌握得很不錯，在此教育教學(xué)過程中，落實(shí)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，讓同學(xué)們通過分析常見的幾何體—三棱錐，了解并掌握立體幾何證明與計算問題。

基金項(xiàng)目：本文系2018年廣東教育學(xué)會教育科研規(guī)劃小課題《通過校本課程《空間幾何體的制作》，提高學(xué)困生的空間解題能力的有效性研究》（課題立項(xiàng)號GDXKT13840）研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1]羅莉華.“說數(shù)學(xué)”在教學(xué)中的作用[J].考試周刊，2010（47）：81-82.