淺談初中幾何教學(xué)中常見的動點(diǎn)軌跡問題

呂錦秀

摘 要在初中幾何教學(xué)中，動點(diǎn)軌跡問題向來是難點(diǎn)，也是學(xué)生在考試中的丟分點(diǎn)。這是因?yàn)閷W(xué)生在解決該類問題時(shí)經(jīng)常無從下手，無法發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)軌跡中的動靜結(jié)合關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，在問題求解過程中難以發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件。所以本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)問題，探討了初中常見的動點(diǎn)軌跡難點(diǎn)問題，希望為學(xué)生破解知識點(diǎn)難題，培養(yǎng)從容應(yīng)對的良好心態(tài)。

關(guān)鍵詞動點(diǎn)軌跡問題;初中幾何;解法探究;圓;平面直角坐標(biāo)系

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2020）12-0190-01

動點(diǎn)軌跡問題中是綜合囊括了眾多知識點(diǎn)內(nèi)容的，它所表達(dá)的數(shù)學(xué)思想豐富，對數(shù)學(xué)思維的分析邏輯和推理過程都提出了較高要求，因此動點(diǎn)軌跡問題絕對是初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大難點(diǎn)。教師在教學(xué)過程中應(yīng)該更多結(jié)合題目幫助學(xué)生把握動點(diǎn)軌跡問題相關(guān)細(xì)節(jié)，解決其中難點(diǎn)問題。

一、平面直角坐標(biāo)系的動點(diǎn)軌跡問題

（一）基本概述

“平面直角坐標(biāo)系”是初中數(shù)學(xué)中的關(guān)鍵知識點(diǎn)。平面直角坐標(biāo)系中是存在動點(diǎn)軌跡問題的，例如其坐標(biāo)軸上的公共原點(diǎn) ，包括平面直角坐標(biāo)系中的 都能衍生出動點(diǎn)軌跡問題。為了幫助學(xué)生在未來的函數(shù)知識學(xué)習(xí)過程中打好基礎(chǔ)，教師在“平面直角坐標(biāo)系”教學(xué)中要把握先機(jī)，首先將動點(diǎn)軌跡問題引入到教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好這部分知識內(nèi)容。

（二）例題提出

（三）例題解讀

（四）例題剖析

具體來講，該題目就涉及兩個(gè)有關(guān)動點(diǎn)軌跡的小問題，且兩個(gè)問題之間是存在相互遞進(jìn)發(fā)展關(guān)系的。

從第1問中的坐標(biāo)點(diǎn)出發(fā)，求解四邊形 的最小值，這其實(shí)就是分析四邊形 的兌點(diǎn)對稱性線段最值問題，闡釋了“兩點(diǎn)之間、線段最短”的數(shù)學(xué)定理。結(jié)合上述定理就能直接求出線段最值問題;第2問是本題目解題最大難點(diǎn)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生共同學(xué)習(xí)判斷 動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡究竟是什么。這里需要考察的是學(xué)生的判斷能力，要合理判斷 動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，然后才能有效計(jì)算出它的運(yùn)動路徑長度。

（五）注意事項(xiàng)

在上述題目求解過程中，需求解出四邊形 以及圓的運(yùn)動路徑、運(yùn)動長度。為此教師還要借助動點(diǎn)軌跡這一問題為學(xué)生確定線段中兩個(gè)端點(diǎn)，動點(diǎn) 的起點(diǎn)與終點(diǎn)位置是可以構(gòu)建特殊三角形的，且能夠計(jì)算出其線段長度。而在運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想方面，則主要轉(zhuǎn)化為其它易求取線段。在線段求取過程中還利用到了中位線性質(zhì)相關(guān)知識內(nèi)容，教師將線段 的長度轉(zhuǎn)化為如何求取線段中 的長度。這一問題轉(zhuǎn)變是希望學(xué)生能夠有機(jī)會簡化計(jì)算算式，把握問題中的某些條件，以便于與問題實(shí)現(xiàn)有效對接。

二、圓的動點(diǎn)軌跡問題

（一）基本概述

圓是初中學(xué)生接觸幾何學(xué)習(xí)中的重要環(huán)節(jié)。簡單的圓上卻存在諸多問題，特別是針對它的動點(diǎn)軌跡問題分析必須深入到位。教師在教學(xué)過程中要做到以動制靜，從動態(tài)的不變形去探究動點(diǎn)形成軌跡的完整過程，在形成過程中再考慮解決各種問題。

（二）例題提出

為了幫助學(xué)生學(xué)習(xí)好圓中的動點(diǎn)軌跡問題，下文結(jié)合1點(diǎn)案例展開來探。

在圖1中有半圓形零件，其直徑緊貼地面位置，需要將零件按照圖中方式無滑動向前翻轉(zhuǎn)，保證其圓心最后再次落到地面。已知半圓直徑 ，圓心 經(jīng)過路線與地面所圍成的面積應(yīng)該是多少？

（三）例題剖析

在該題目中引入了旋轉(zhuǎn)知識，當(dāng)半圓通過兩次旋轉(zhuǎn)后原點(diǎn) 落回到地面位置后它所形成的軌跡應(yīng)該是兩段完整的四分之一圓弧。在整個(gè)翻轉(zhuǎn)過程中，圓 都與地面保持相切，它到地面的距離始終等于半圓半徑。此時(shí)教師要根據(jù)定距判別法求解圓心 中途的動點(diǎn)軌跡問題。實(shí)際上它的動點(diǎn)軌跡應(yīng)該是一條長度為半圓弧長的線段，教師要求學(xué)生畫出圓心 的整段軌跡之后就能解決該問題。

（四）注意事項(xiàng)

該題目中解讀了點(diǎn)動成線的問題，教師在教學(xué)過程應(yīng)該幫助學(xué)生合理判別這一動點(diǎn)軌跡問題并找到正確的判別方法。例如，采用定距判別法幫助學(xué)生認(rèn)知平行線段上的動點(diǎn)軌跡問題，另外還可采用等角判別法或者定向判別法，二者都能從角去分析例題內(nèi)容，等角判別法可以獲得圓弧軌跡，其中等角是指以動點(diǎn)為頂點(diǎn)的角大小不變，二者始終相等。定向判別法則可獲得直線，動點(diǎn)是某一頂角一邊上的點(diǎn)，動點(diǎn)的運(yùn)動方向則始終保持不變，有一條固定實(shí)現(xiàn)作為角度的另一個(gè)邊。它們的差別就是在一個(gè)角的頂點(diǎn)和某一條邊上。

三、總結(jié)

動點(diǎn)軌跡問題是變化多端的，它非常考驗(yàn)學(xué)生對于空間思維內(nèi)容的捕捉，鍛煉的就是學(xué)生的立體空間思維能力。在教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生利用多種方法展開問題分析，幫助他們歸納動點(diǎn)軌跡相關(guān)解題思路，這非常有利于學(xué)生較快得出答案結(jié)論，大量積累解題經(jīng)驗(yàn)。并深入其本質(zhì)思考相應(yīng)的解題方法，掌握動點(diǎn)軌跡的相應(yīng)數(shù)學(xué)思維，真正提升自我解題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]曾立萱.初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)軌跡問題解法探究[J].讀寫算，2018（10）：147-148.

[2]郭源源.“定量”構(gòu)建動點(diǎn)軌跡“隱圓”巧解最值問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2018（5）：42-44.