毛細管法測量流體黏度理論分析*

劉戰果 龐學霞 常晗碩 李常偉 趙志崗 段超予

(河北大學物理科學與技術學院 河北 保定 071002)

1 引言

黏性是流體的固有物理屬性.流體流動時會在相鄰流體層之間產生內摩擦力，此即流體的黏滯(性)力，亦稱黏滯阻力.流體的黏度(又稱黏滯系數)是描述流體內摩擦力性質的重要物理量，能夠表征流體反抗形變的能力.流體分子間的引力和分子熱運動是形成黏性的原因.

流體黏度的測量方法有落球(針)法、毛細管法、轉筒法等，其中毛細管法適用于測量黏度較小的液體，例如水、酒精或者血液.毛細管法測量流體黏度是基于流體力學領域的泊肅葉公式，實際上，基于這種理論測量流體黏度進行了不同程度的近似[1～6].本工作針對毛細管法測量流體黏度的一種簡易裝置，分析了基于不同理論的誤差，其結果可以為任課教師講授實驗理論提供參考素材，也可以為學生在實驗的過程中應用已學知識分析問題、解決問題提供參考.

2 黏度的定義及毛細管法測量黏度的簡單裝置

流體中兩個移動邊界之間的摩擦導致了流體剪切，描述這種層流剪切行為強度的物理量叫做流體的黏度或剪切黏度.黏滯力是流體受到剪切應力變形或拉伸應力時所產生的阻力.在一般的平行流動(即層流狀態)中，剪切應力τ正比于速度u在垂直于流動方向的y′軸的梯度[1]，即

(1)

毛細管法是依據該黏度定義且能最容易實現測量流體(只適用于低黏度流體)黏度的方法之一，圖1給出了一種毛細管法最簡單的實驗裝置設計.

圖1 毛細管法測量流體黏度實驗裝置示意圖

如圖1所示，圓柱形蓄水桶內直徑為2R，蓄水桶靠近底端處是一個長度為L、直徑為2a的毛細管，整套裝置處于大氣壓p0下.蓄水桶中盛有低黏度液體，液面到毛細管中心線的距離大約為y，毛細管另一端裝有磁堵.當調節蓄水桶豎直，且蓄水桶中無氣泡后，打開毛細管一端的磁堵，讓蓄水桶的液面下降足夠慢(準靜態過程)，使毛細管中的流動保持層流狀態，此時從毛細管一端射出的液體應呈拋物線狀且平穩，通過測量液面在不同時刻的高度，即可實現流體黏度測量.

圖1顯示的實驗裝置的設計思路簡潔，操作簡單、測量誤差較小，是很多高校基礎物理實驗的首選.依據流體力學理論，液體在圓管內處于層流狀態，如果圓管兩端的壓強差為Δp，則在圓管內達到定常流動之后的流量Q是

(2)

其中，v是圓管內的速度分布函數，r是以圓管中心為起點的徑向坐標.由式(2)可以看出，要想測量流體的黏度首先要知道圓管兩端的壓強差Δp.如圖1所示，圓形毛細管與蓄水桶連接的一端的壓強未知，可以用p表示；而另一端因與大氣相連其壓強應為大氣壓強p0，因此毛細管兩端的壓強差為Δp=p-p0.求解毛細管兩端的壓強差Δp(或p)可以從兩種理論出發，即經典的牛頓力學理論和流體力學理論，得到的結果略有不同，下面就基于這兩種理論，對毛細管兩端的壓強差Δp=p-p0進行分析.

3 基于牛頓力學理論分析毛細管兩端壓強差

對于連續的不可壓縮、運動形式比較簡單的流體，可近似看成質點組，如蓄水桶中的液體.當毛細管磁堵打開后，如果蓄水桶的內壁光滑且桶中的液面緩慢下降，對于低黏度液體的運動可以近似看成是落體運動(如圖1所示)，蓄水桶液面以上是大氣壓強p0，假設液體中的壓強是各向同性的，與毛細管位置等高的液面壓強為p，則依據牛頓運動定律可以給出變質量問題的力學公式

(3)

dm1=-ρv1A1dt

亦即

因此式(3)變為

(4)

(5)

依據流量的定義，還可知道

Q=A1v1=A2v2

(6)

其中，A2(πa2)是毛細管截面積，v2是毛細管中流體的平均流速.

為了求解未知量y或v1，聯合式(5)和式(6)，可以得到

(7)

(8)

求解式(8)可以得到

(9)

其中，y0為初始時刻蓄水桶液面的凈高度.測量一組不同時刻t對應的蓄水桶液面凈高度y值，即可通過作圖法擬合出待測流體的黏度η.

對毛細管兩端壓強差Δp做近似是毛細管法測量流體黏度常用的處理方式[1～6].為保證上述近似的可靠性，我們試比較式(4)中3種原因產生的壓強大小.考慮到實驗儀器設計的實用性，選取毛細管長L=150.0 mm，毛細管內徑約a=0.5 mm，蓄水桶內徑R=37.00 mm，內置液體為純凈水.如果初始時刻(t=0)蓄水桶液面的凈高度y0=40.00 cm，可查在20 ℃時，水的密度

ρ=0.998 2×103kg·m-3

水的黏度

η=1.005×10-3Pa·s

選取北京地區的重力加速度g=9.802 m·s-2.我們計算了實驗進行到不同的時刻，3種壓強差的大小以及將被忽略的小量壓強差占大量壓強差的比重，計算結果如表1所示.

表1 式(4)中的3項壓強差在不同實驗時刻的大小及比例

①按照上述儀器設計參數，如果液面每下降約1.0 cm標記一次時間，測量約20組數據需要約1 741 s，為了計算簡便取整為1 800 s.

隨著實驗時間的增加，這3種壓強差都在減小，被忽略的小量占大量的比重越來越小.因此，在20 ℃時且在上述儀器設計參量情況下，忽略蓄水桶中液體的運動變化產生的壓強差和蓄水桶中液體質量流失帶來的壓強差不會給實驗帶來太大誤差，即使在其他溫度下測量流體黏度也是如此.

4 基于流體力學理論分析毛細管兩端壓強差

簡單的層流運動是流體力學描述的主要對象，基于流體力學同樣可以推導毛細管兩端的壓強差.

蓄水桶和毛細管中的流體運動簡化成層流狀態，那就意味著也是無旋狀態，則對于理想、正壓、有勢質量力、無旋且不可壓縮重流體情形的流體運動，其運動方程適用于拉格朗日積分方程

(10)

其中，φ是速度勢，f(t)是時間t的任意函數，由邊界條件決定，對于某一固定時刻而言，f(t)在整個流場中取同一常數值.式(10)具有能量守恒的形式，是從能量的角度來描述流體的運動.

從蓄水桶的自由面A到毛細管入口B處，再到毛細管出口C，畫出一條流線ABC，在流線AB段，因為蓄水桶截面相等，所以大部分v近似相同，則速度勢

(11)

其中，x為從自由面A到流線上任一點的距離.因此，流線AB在兩個標記點處有

(12)

其中，s是流線AB段的長度.AB段流線特定的長度很難計算，但可推知其取值范圍在(y，y+2R).由式(12)可得

(13)

式(13)得到的靜壓強差Δp(等于上節用牛頓力學理論分析得到的壓強差)也包含了3部分.第一部分是流線AB兩端的凈剩重力勢能Δp′1=ρgy，該項是靜壓強差的主要貢獻部分.第二部分是流線兩端動能密度的變化量

參照上一節實驗儀器的設計參量及實驗環境，我們比較一下流線AB兩端動能密度的變化量、流線速度勢的增量與流線AB兩端的凈剩重力勢能之間的大小，計算得到的不同實驗時刻的大小及比例如表2所示.

表2 式(13)中的3項在不同實驗時刻的大小及比例

5 結束語

本文依據流體黏度的定義，對一種毛細管法測量流體黏度的簡單裝置，基于不同理論基礎進行了理論誤差分析.發現牛頓力學在分析低速且速度梯度比較小的流體運動時，引入的理論誤差比流體力學理論小.無論從哪種理論出發，都可以得到相同的測量流體黏度的理論公式，并且都表明實驗過程中不能以打開磁堵的時刻為實驗開始的計時點，應該等待從毛細管一端射出的水流呈拋物線狀且平穩之后再開始計時，以最大限度地減小誤差.

簡化后的理論公式容易理解，能夠很容易地得出方程的解析解，實現了多領域知識融合和綜合運用，本文的分析過程和結果為學生融合多領域知識，養成分析和解決問題的習慣提供了參照.