破譯歐拉秘密 挑戰(zhàn)歐拉奇跡

歐拉是數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論、幾何學(xué)、天文數(shù)學(xué)、微積分等好幾個數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域中都取得了出色的成就，不過這個數(shù)學(xué)家在孩提時代卻一點(diǎn)也不討老師喜歡，并最終因?yàn)槊胺咐蠋煻粚W(xué)校除名。

一、小歐拉——智改羊圈

回家后，他就幫助爸爸放羊，成了一個牧童。他一邊放羊，一邊讀書。在他讀的書中，就有不少數(shù)學(xué)書。爸爸的羊漸漸增多了，達(dá)到了100只。原來的羊圈小了，爸爸決定建一個新羊圈。他用尺子量出了一塊長方形的土地，長40米，寬15米，他一算面積正好是600平方米，平均每只羊占地6平方米。正打算動工的時候，他發(fā)現(xiàn)他的材料只夠圍100米籬笆，不夠用。若要圍成長40米，寬15米的羊圈，其周長將是110米(15+15+40+40=110)，父親感到很為難。若要按原計劃建造，就要再添10米長的材料；若要縮小面積，每頭羊的面積就會小于6平方米。

小歐拉卻向父親說，不用縮小羊圈，也不用擔(dān)心每頭羊的領(lǐng)地會小于原來的計劃，他有辦法。父親不相信，小歐拉急了，大聲說：“只要稍稍移動一下羊圈的樁子就行了。”父親聽了直搖頭，心想：“世界上哪有這樣便宜的事情?”但是小歐拉卻堅持說，他一定能做到兩全齊美，父親終于同意讓兒子試試看。

小歐拉見父親同意了，站起身來，他跑到準(zhǔn)備動工的羊圈，以一個樁為中心，將原來的40米邊長截短，縮到25米。父親看了著急了說：”那怎么成呢?那怎么成呢?這樣羊圈太小了，太小了。”小歐拉也不回答，跑到另一邊上將原來15米的邊長延長，又增加了10米，變成了25米。經(jīng)這樣一改原來計劃的羊圈變成了一個邊長25米的正方形，然后小歐拉很自信地對爸爸說：“現(xiàn)在籬笆也夠了，面積也夠了。”

父親照小歐拉設(shè)計的羊圈扎上了籬笆，100米長籬笆真夠了，不多不少，全部用光，面積足夠了，而且還稍稍大了一些。父親感到非常高興，孩子比自己聰明，真會動腦筋，將來一定有大出息。

父親感到，讓這么聰明的孩子放羊?qū)嵲谑翘上Я耍朕k法讓小歐拉認(rèn)識了一個大數(shù)學(xué)家伯努利。通過這位數(shù)學(xué)家的推薦，1720年小歐拉成了巴賽爾大學(xué)的學(xué)生。這一年，小歐拉13歲，是這所大學(xué)最年輕的大學(xué)生。

二、小同學(xué)——剖譯密秘

親愛的同學(xué)，讀完上述歐拉幫父親智改羊圈的故事，你一定為小歐拉聰明而驕傲，那么你能否用所學(xué)函數(shù)知識給予解答呢?

我班王浩同學(xué)讀了這則故事后是這樣解答的：

設(shè)矩形為ABCD，AB=x，則BC=100-2x/2=50=x，矩形面積為S。

則S=AB·BC=x(50-x)；50x-x²

S=-x²+50x=-(X-25)²+625

當(dāng)x=25時，S^{最大值=625}

∴當(dāng)AB=25，BC=25，矩形ABCD為正方形時，最大面積為625平方米。

周長一定的矩形中，以正方形面積為最大。

三、小機(jī)靈——挑戰(zhàn)歐拉

一直愛動腦的學(xué)生孫亮，人稱“小機(jī)靈”對歐拉的作法并不滿意，站起來說，歐拉的作法并不是最佳的，我可以用100米籬笆圍出一個大于625平方米的羊圈。老師對小機(jī)靈鼓勵一番說，請你把想法寫在黑板上。

小機(jī)靈：圍成一個半徑為r的圓形羊圈其面積為S則

r=100/2π=50/π

∴S=(50/π)²π=2500/π>2500/3.15=794>625(m²)

綜合以上解答可以得出結(jié)論：周長一定，圍成圖形是矩形時，以正方形面積最大，圍成的圖形不限定時，圓形面積最大。