一種靜定單跨梁彎曲內(nèi)力的編程計算方法

聞?chuàng)P琎 陳小亮 蔣利成

（重慶科技學院建筑工程學院，重慶401331）

陳俊旗等人[1]以梁的彎曲內(nèi)力和彎曲應力的教學為例,介紹了有限單元法輔助教學的過程, 幫助學生可以更好地理解梁彎曲時的內(nèi)力和應力, 尤其對彎曲時橫截面上的正應力有一個更為直觀的認識。馮麗[2]基于彎曲內(nèi)力方程與數(shù)學函數(shù)存在一致性,在數(shù)學教學中引入內(nèi)力函數(shù),而在力學教學中強化數(shù)學分析,達到了知識整合的目的。熱依汗·依不拉依木和陳國新[3]在有關教材規(guī)定符號方法的基礎上總結出一套通俗易懂的方法, 方便學生掌握彎曲內(nèi)力正負規(guī)定和計算方法。史雙喜和丁少玲[4]引入MATLAB 語言編程計算彎曲內(nèi)力和作圖, 可使內(nèi)力的分析更直觀,從而激發(fā)學生學習興趣,大大提高教學效率。王曄和楊姝[5]將MATLAB 和具體的材料力學課程相結合, 對培養(yǎng)學生應用科學計算工具解決工程實際問題進行了探索。劉永豐[6]給出了彎曲內(nèi)力計算除截面法以外的幾種計算方法，這幾種方法的特點是不需要先計算支座約束反力，而是由荷載直接計算出梁的內(nèi)力。周蔚宇[7]探討了用奇異函數(shù)求梁的彎曲內(nèi)力和變形。王泉祥[8]提出一個應用奇異函數(shù)解決梁的彎曲內(nèi)力、變形及靜不定問題的簡便方法，用該方法可將作用在梁上的各種載荷用一個載荷集度函數(shù)表示，通過積分,全梁的剪力、彎矩、轉角和撓度可分別用一個方程表示。吉蔚[9]建立了等直梁彎曲內(nèi)力和變形的普遍方程式。

1 左端固定的懸臂梁彎曲內(nèi)力計算

首先定義一個奇異函數(shù) δ（x）：

圖1 左端固定的懸臂梁

圖1（a）所示左端固定的懸臂梁在任意集中力F 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

圖1（b）所示左端固定的懸臂梁在任意集中力偶Me 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

圖1（c）所示左端固定的懸臂梁在任意分布力q 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

注意，本文外力當中的集中力和均勻分布載荷均假定向上為正、集中力偶假定逆時針為正，內(nèi)力（剪力和彎矩）的正負號遵循工程力學教材的規(guī)定。

2 右端固定的懸臂梁彎曲內(nèi)力計算

圖2 右端固定的懸臂梁

圖2（a）所示右端固定的懸臂梁在任意集中力F 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

圖2（b）所示右端固定的懸臂梁在任意集中力偶Me 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

圖2（c）所示右端固定的懸臂梁在任意分布力q 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

3 簡支梁和外伸梁的支座反力計算

圖3 簡支梁和外伸梁的支座反力

如圖3 所示，簡支梁或外伸梁的兩個支座距離梁左端的距離分別為b 和c，所受集中力F 或集中力偶Me 的位置距離梁左端的距離為b。則圖3（a）所示簡支梁或外伸梁在任意集中力F作用下的支座反力可表示為（外力假定向上為正）：

圖3（b）所示簡支梁或外伸梁在任意集中力偶Me 作用下的支座反力可表示為：

對于簡支梁或外伸梁在任意分布力q 作用下的支座反力，可先把分布力等效為一個集中力，然后就可以按照公式（14）-（15）計算兩個支座反力。

4 討論

對于左端固定的懸臂梁受任意集中力、集中力偶、均勻分布載荷作用，可基于疊加原理利用公式（2）-（7）計算梁的剪力和彎矩；對于右端固定的懸臂梁受任意集中力、集中力偶、均勻分布載荷作用，可基于疊加原理利用公式（8）-（13）計算梁的剪力和彎矩；對于簡支梁或外伸梁受任意集中力、集中力偶、均勻分布載荷作用，首先基于疊加原理利用公式（14）-（17）計算梁的兩個支座反力，然后把支座反力也看成集中荷載，就可以基于疊加原理利用公式（8）-（13）計算梁的剪力和彎矩。本文探討的靜定梁彎曲內(nèi)力計算方法對于彎曲內(nèi)力的編程計算是非常便利的。