一道輕桿問題的正確解法與其引發的思考

王文娟

(北京師范大學物理學系 北京 100875)

1 引言

物理學的研究，需要科學的方法作指導.學生在解決物理問題時，需要構建合理的物理模型，采用相關的物理方法，分析模型的物理運動過程.

輕桿模型是高中物理力學問題中的常見模型.現階段的高中物理教學中，只討論將物體簡化成質點后的質點平動問題，暫不討論轉動問題.這使得高中階段的絕大多數輕桿問題都對“輕桿”提出“忽略質量”的要求，使得桿的轉動慣量恒為零，以期規避討論桿的轉動，便于高中學生求解[1].然而，多數教師、學生在求解輕桿問題時，由于習慣性地忽略輕桿的質量，忽視了輕桿可能存在的轉動，甚至僅將這一模型視作質點平動問題進行求解，違背了這一模型的物理運動規律.

本文以2017年11月四川省綿陽市高三第一次診斷性考試(理科綜合)第17題為例.通過與給出的標準答案對比，筆者認為該題選項C,D解析存在漏洞，不利于培養學生的物理思維.因此，本文將糾正其廣為流傳的錯誤解法，給出這一問題的正確解.

2 題目

【例題】如圖1所示，光滑的小球A和B通過輕桿相連，靠在豎直墻和水平地面上，從圖示位置由靜止釋放，則( )

A.輕桿對小球A始終不做功

B.輕桿對小球B做的總功為零

C.輕桿對小球A先做正功后做負功

D.輕桿對小球B先做正功后做負功

圖1 例題題圖

3 錯解辨析

本題主要考察學生對受力分析、機械能守恒定律、運動學規律的應用能力.釋放輕桿后，輕桿會順勢倒下.選項C,D的錯解如下.

錯解:當輕桿一直沿墻壁下滑時，A球速度沿y軸負向，B球速度沿x軸正向.將A,B兩球速度分別分解為沿桿方向和垂直于桿方向，即

vA‖=vAcosθvA⊥=vAsinθ

vB‖=vBsinθvB⊥=vBcosθ

由于輕桿是剛性桿，不可伸縮，故沿桿方向兩球共速，即vAcosθ=vBsinθ.則可知：當θ達到45°時，B的速度將減小，輕桿開始對其做負功；A的速度將增大，輕桿開始對其做正功.故C錯誤，D正確.

縱觀錯解，雖然巧妙運用了輕桿作為剛性物體的不可伸縮性，列出兩球的速度關系式，看似嚴謹.但當θ達到45°時，只需保證vB

4 模型運動分析

輕桿對物體做功的正負發生改變，也即輕桿對物體的作用力T的方向反向.那么，輕桿做功正負變化的臨界角是否存在呢？如何對兩球的物理運動過程進行精確的描述呢？

對兩個小球進行受力分析，如圖2(a)所示.GA,GB為兩球重力，T為桿對球的彈力，NA為墻面對A球的支持力，NB為地面對B球的支持力.當輕桿開始下滑后，θ角增大，輕桿A端沿墻面滑下，B端沿地面滑動，A球所受合力FA沿y軸方向，B球所受合力FB沿x軸方向.彈力T對A球做負功，對B球做正功，使vB持續增大.由

vAcosθ=vBsinθ

可得

vA=vBtanθ

即隨著θ的增大，vA也持續增大.

圖2 兩小球受力分析

大膽假設臨界角θ0存在.θ=θ0后，彈力T反向，如圖2(b)所示，輕桿做功的正負也發生改變，T對A球開始做正功，對B球開始做負功，即可證明選項D正確.同時，FA將會有x軸正向分量，使A球在x軸正向、y軸負向都擁有速度，輕桿A端不再單純沿墻下滑，而是離開墻面，支持力NA消失；FB將會擁有x軸負向分量，使B球在x平面上出現減速運動.

那么，只要能夠直接證明彈力T的方向在輕桿下滑過程中可反向，或證明使彈力T反向的臨界角θ0存在，即可證得，在輕桿下滑直至落地前的全過程中，vA一直增大，vB先增大后減小，在臨界角處取得最大值；即可得出輕桿對兩球做功正負的變化情況，最終得出題目選項C錯誤、選項D正確的結論.

5 正確解答

筆者將分別定性和定量分析.

圖3 B球靜止參考系中A球的合力與速度示意圖

解法2(定量): 討論簡化情況.設A,B球質量為m，輕桿長l，初始時刻輕桿與墻壁夾角為α.

由機械能守恒定律，得

沿桿方向，桿長不伸縮

vAcosθ=vBsinθ

O′系中：A球速度

向心加速度

臨界狀態θ=θ0時，T=0，A球合力F′A=GA，故有

a′‖=gcosθ0

可得臨界角

解法3(定量): 討論簡化情況.設A,B球質量為m，輕桿長為l，初始時刻輕桿與墻壁夾角α.

由機械能守恒定律，得

沿桿方向，桿長不伸縮

vAcosθ=vBsinθ

聯立上述兩式得

有

6 總結與展望

本題選項A,B較易判斷.在考場上，考生只需正確分析模型運動，便可以通過排除法排除，在選項C,D中得出答案，足以應付考場作答.但如果對本題僅僅只是應付了事，不仔細分析模型的運動規律，對于學生物理核心素養的培養將弊大于利；本題錯誤解答的廣為流傳，也暴露了當下物理教學的部分問題，以下問題值得引起物理教育工作者的重視.

(1)“為解題而解題”，忽視核心素養的培養

物理核心素養，是學生在接受物理學習時，潛移默化形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力[2].以本題為例，錯解雖然巧妙運用了輕桿的速度關系，但卻忽視了運動狀態發生改變的原因——力，忽視了物理學的這一支柱，完全沒有對系統進行受力分析，進而導致錯解的發生.在分析任何物體的運動狀態前，我們都需要仔細分析物體的受力情況.在高中物理簡化后的質點運動學問題中，我們只需要分析力的大小與方向，就能判斷質點的平動是否發生變化；但在真實的物理場景中，受力分析變得更為重要：我們不僅需要判斷物體是否會發生平動，還需要分析受力點的位置，判斷物體是否受力矩影響，發生轉動[1].受力分析在物理學中的地位可見一斑.作為教育工作者，我們有義務培養學生正確的物理觀念，不能讓錯解帶偏學生解決物理問題的思維方式.

(2)局限于高中課本，較少主動探究模型背后的物理本質

新課標指出，通過高中物理課程的學習，學生應能運用科學思維與方法，建構合適的物理模型，從定性和定量兩個方面對模型的物理問題進行推理，找到規律并得出結論[2].本題的輕桿下滑模型是一個非常貼近實際生活的模型.生活中與此最接近的模型，便是將一只筆用同樣方式立在桌與墻之間，觀察筆的自然下滑過程.分析時，可將筆視作一個質量均勻分布的長條剛體，進而可以研究筆的平動與轉動.這是一個帶領學生主動跳出高中物理課本范疇、了解剛體轉動問題的好機會，但礙于高中教學環境所限，絕大多數教師并未將此納入教學環節，錯過了增長學生見識的時機.教師有義務在完成規定的教學任務的同時，帶領學生進行科學探究活動，拓寬學生的知識面，讓學生的物理素養得到進一步的提升.