GeoGebra輔助運動學公式的圖示法

魏沖 王海鋒

(石河子大學理學院 新疆 石河子 832000)

1 GeoGebra軟件簡介

GeoGebra是一款數學工具軟件，它集合了平面繪圖、3D繪圖、動態幾何、概率統計、代數運算、表格運算等多種功能.GeoGebra可以畫點、線段、直線、向量、多邊形以及函數圖像，并且能夠改變他們的屬性，既能呈現靜態圖像，又能呈現動態圖像，這使得它能夠制作物理、數學等教學課件，可用于展示在黑板上或PPT上難以展示的動態物理規律，非常適合用于教學演示，解決教學中的難點，體現物理教學思想.

2 勻變速直線運動位移公式的圖示分析

上式為勻變速直線運動的位移公式，勻變速直線運動規律是學生認識自由落體運動、平拋運動，帶電粒子在勻強電場中的類平拋運動等知識的基礎.人教版課本的位移與時間關系式的探討采用以v-t圖像推導位移公式體現物理學科的科學性與嚴謹性，并用無限分割再求和的方法使學生認識到勻變速直線運動的位移可以通過v-t圖像求出，體驗科學探究和微積分思想.而傳統課堂中采用黑板或者PPT等形式，都是以靜態的v-t圖像呈現這一探究過程，對于物理思維表象較差的學生，難以獲得有效的認知.因此，我們應用GeoGebra制作動態的v-t圖像課件，以優化課堂教學.

2.1 課件制作

第一步，打開GeoGebra，在繪圖區增添橫軸和縱軸坐標的標簽來建立v-t圖像，在工具欄中選取文本工具，分別將橫軸和縱軸的標簽改為t和v.第二步，在指令欄輸入指令“如果(0 ≤x≤ 60, 加速度ax+ 初速度v_0)”，得到形如一次函數的分段函數圖像，其中調節滑動條加速度a和初速度v0可以改變v-t圖像中圖線的斜率和縱截距，如圖1所示.

圖1 v-t圖

為體現微分思想，在指令欄輸入指令“下和(f, 0, 60,n)”，其中n為小矩形的數量，在工具欄利用布爾變量定義下和指令，并將布爾變量重命名為“矩形”.如圖2所示，其中“矩形”是否選中，可以改變小矩形的有無.移動滑動條“n”可改變小矩形的數量.

圖2 微分思想分析時選中“矩形”

2.2 教學設計

做勻速直線運動的物體在時間t內的位移x=vt.在它的v-t圖像中，著色的矩形邊長正好是v和t，矩形的面積正好是vt.可見對于勻速直線運動，物體的位移對應著v-t圖像下面的面積.我們操作上文制成的課件，把加速度a調為零，選中“矩形”并把n調為1，來表示勻速直線運動的物體的v-t圖像,如圖3所示.

圖3 a=0,n=1時v-t圖

而做勻變速直線運動的物體，在它的v-t圖像中，是一條傾斜直線，它與橫軸所圍圖形為梯形.根據勻速直線運動的位移等于圖線與橫軸所圍的面積，我們能否用v-t圖像與時間軸所圍的面積表示勻變速直線運動的位移呢？我們移動加速度a的滑動條，適當增加圖線的斜率.此時觀察到勻變速直線運動圖線與橫軸所圍梯形的面積由一個著色矩形和一個白色三角形組成，如圖4所示.

圖4 n=1時勻加速直線運動的位移與面積關系分析

如果我們把矩形面積當做梯形面積，即把勻變速直線運動的位移當成勻速直線運動的位移，此時誤差是很大的，如果我們增加矩形數量，n取值為2，即把一段勻變速直線運動分割成兩段勻速直線運動，此時梯形被分成兩個著色矩形和兩個小三角形，我們觀察到兩個矩形的面積之和與梯形面積的差值減小了，如圖5所示.

圖5 n=2時勻加速直線運動的位移與面積關系分析

為了得到更精確的結果，我們把一段勻變速直線運動分割成n段勻速直線運動，此時我們可以得到此關系式：S梯形=nS矩形

我們緩慢調節滑動條n，使小矩形的數量緩慢增加，在這一演示過程中，學生可清楚地觀察到梯形的面積逐漸被著色的n個小矩形填滿，白色的小三角面積之和越來越小.當n取值越大，即小矩形數量越多，梯形的面積越來越接近n個小矩形面積之和，如圖6所示.

圖6 n逐漸變大時，梯形的面積越來越接近n個小矩形面積之和

而當n取值為正無窮時，我們認為上述關系式S梯形=nS矩形成立.所以勻變速直線運動等于無數段勻速直線運動，梯形面積等于無數個小矩形面積之和，而無數個小矩形面積表示無數個小位移，無數個小矩形面積之和則表示總位移.由此看來，勻變速直線運動圖像的梯形面積也表示物體運動過程的位移.我們借助GeoGebra制作的課件，生動地展示了微分求和思想，彌補了學生物理表象思維不足的弱點.

圖7 梯形的面積

我們將v=v0+at帶入

最終可得到位移與時間的關系式

由此我們可直接通過圖像來求得位移與時間的關系式.

圖8 數形結合求位移與時間的關系式

3 勻變速直線運動位移差公式的圖示分析

3.1 課件制作

修改x-y坐標軸為v-t坐標軸，輸入指令：if(0≤x≤50,加速度ax+初速度v_0).如圖9所示得到分段函數，輸入指令：下和(f, 0, 50,n).使梯形被分割成n個矩形,如圖10所示.

圖9 if指令

圖10 圖表說明

在指令欄分別輸入指令：A=(50 /n, 初速度v_0),B=(2 * 50 /n, 初速度v_0),C=(2 * 50 /n, 加速度a50 /n+ 初速度v_0),D=(50 /n, 加速度a50 /n+ 初速度v_0).選取ABCD4點為矩形，標注高為aT，底為T，面積則為aT2,標注為Δx,如圖11所示.

每個相鄰梯形都可以表示為連續相等時間內的位移，而每個相鄰梯形的面積之差都等于圖中的矩形面積Δx，而此矩形的高為aT，底為T,由此推出矩形面積Δx=aT2，即連續相等時間內的位移差相等.通過應用GeoGebra，我們得到了十分精確的圖形，相對于傳統的黑板粉筆畫圖，我們又增添了圖像的可操作性，為解決相關物理問題提供了廣泛的可能性.(如下文所示)

圖11 指令說明

3.2 課件在課本紙帶類練習題中的應用

【例1】(人教版課本問題與練習)為研究實驗小車沿斜面向下運動的規律，把打點計時器紙帶的一端固定在小車上，小車拖動紙帶運動時，紙帶上打出的點如圖12所示.

圖12 一次實驗的紙帶

(1)某學生用以下方法繪制小車的v-t圖像.先把紙帶每隔0.1 s剪斷，得到若干短紙條.再把這些紙條并排貼在一張紙上，使這些紙條下端對齊，作為時間坐標軸，標出時間.最后將紙條上端中心連起來，于是得到v-t圖像.請你按以上辦法(用一張薄紙壓在圖12上，復制得到紙帶)繪制這個圖像.

(2)這樣做有道理嗎？說說你的看法.

依照題干要求，紙帶相鄰兩點為0.02 s,要分隔成5條紙帶，上述課件中的n取值為5,如圖13所示.

圖13 圖解

這5個矩形分別是依次排列的5段條形紙帶，每段紙帶的位移差在課件中用Δx標注.由公式Δx=aT2可求出加速度a,其中T=0.1 s，Δx通過直尺測量，取平均值.

3.3 推導實驗公式一般式xm-xn=(m-n)aT2

在傳統的教學中，我們采用數學方法，列式來尋找規律，總結出一般式xm-xn=(m-n)aT2.但學生往往采用背誦的方法記憶結論，更難以達到有效運用.因此,我們通過GeoGebra制作圖像來幫助學生采用數形結合的思想來理解這一公式.

設xn內的平均速度為vn，設xm內的平均速度為vm，則有

xn=vnT

(1)

xm=vmT

(2)

(2)-(1)得

xm-xn=(vm-vn)T

(3)

由圖14可知

vm-vn=a(m-n)T

(4)

將式(4)代入式(3)得

xm-xn=(m-n)aT2

(5)

圖14 數形結合理解一般式

借助GeoGebra描繪的圖像，學生能夠在推導出公式的基礎上，進一步在各類題型中應用這一公式，并結合圖像理解其物理規律.

3.4 逐差法求紙帶問題

對于打點計時器題型中求紙帶中隱含的加速度問題，學生往往通過背公式的方法解題，這樣不但不利于學生解題，反而容易導致學生思維僵化，更不利于以后的學習.在傳統教學中我們往往采用下列方法進行教學.

根據公式xm-xn=(m-n)aT2有

x4-x1=3aT2

(6)

x5-x2=3aT2

(7)

x6-x3=3aT2

(8)

由式(6)+(7)+(8)得

(9)

在7點紙帶題型中可以直接使用式(9)，但對于學生而言，Δx=aT2這一公式更容易記憶與理解.

【例2】(2016年天津理綜改編)求下列7點紙帶中的加速度a，如圖15所示.

圖15 例2題圖

此題可直接使用式(9)

即可求出加速度a.但是學生只是套用了這一公式，并沒有有效完成探究的過程，不利于學生的物理思維發展.于是我們可利用GeoGebra制作的課件幫助學生理解逐差法求加速度的解題過程，來避免學生采用死記硬背的方法解決物理問題.

我們不妨用GeoGebra把紙帶模型進行“放大”，來直接使用Δx=aT2來解題,如圖16所示.

圖16 GeoGebra改編圖

通過使用GeoGebra改編，使7點紙帶簡化成了3點紙帶.可由公式Δx=aT2直接求得

注：兩點的時間由T擴大為3T.

再如圖17所示，使5點紙帶簡化為了3點紙帶.

圖17 5點紙帶簡化圖

逐差法求加速度

通過觀察GeoGebra制作的課件，我們注意到多點的紙帶，即使是9點，11點及更多點，都可以選取中點，把紙帶“切”分為x1和x2兩大段，再通過Δx=aT2即可求出加速度.(注：此時兩點時間T不是原來兩點的時間，而是新的兩個點的時間)有利于學生記憶和理解.

4 勻速圓周運動向心加速度表達式的圖示分析

人教版必修2中，在“做一做”中以文本圖像的形式“探究”了向心加速度大小的表達式，而通過借助GeoGebra制作的課件,能夠更形象生動地探究向心加速度的大小以及方向.

4.1 向心加速度課件制作

首先，在輸入欄輸入：Circle(O,r),由此建立圓周c和參數r，在圓周c上取兩點A,B，并以這兩點做圓的切線tA,tB.在指令欄中用slope得出這兩條切線的斜率kA，kB，再用θ=atand(k)指令求出兩條切線的傾斜角θA,θB.為了建立向量以表示速度，選取切線的速度方向的一點A′.在指令欄輸入：A**’=if(y(A) ≥y(O),A-v_1 (cos (θ_A), sin (θ_A)),A+v_1 (cos (θ_A), sin(θ_A))),求出點A′，同理求出B′.用Vector指令，建立從A到A′的向量以表示速度vA,同理建立速度vB.把vA的起點平移到B點，得到vA′，依次連接v′A與vB的末端，從而得到向量Δv以表示速度的變化量，此時已完成課本中的圖像.

為了方便探究向心加速度的大小，連接v′A,vB與Δv，得到矢量三角形；同理連接O,A,B3點得△OAB.在指令欄輸入Angle指令，標注兩個三角形的角度.通過顯示的角度，證明了兩個三角形是相似三角形,如圖18所示.

圖18 兩個三角形相似

4.2 向心加速度的大小

根據相似三角形可得

Δl為圓上A,B兩點構成的弦，v代表速度vA,vB的大小.

當時間Δt→0時，弦Δl近似等于弧長vΔt，通過等量代換得

整理得

得

由此得到向心加速度大小表達式.

4.3 向心加速度的方向

取弦AB中點為起點，O點為終點，建立向量.觀察到這一向量始終與向量Δv同向，即Δv的方向始終指向圓心，也證明了向心加速度a的方向始終指向圓心,如圖19所示.

圖19 向心加速度的方向

5 總結與感悟