兩體對(duì)心碰撞后物體速度范圍的確定和求解

趙文浩

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 陜西 西安 710119;寧強(qiáng)縣天津高級(jí)中學(xué) 陜西 漢中 724400)

楊榮富 曹偉

(寧強(qiáng)縣天津高級(jí)中學(xué) 陜西 漢中 724400)

在高中物理教學(xué)中，碰撞模型是考查學(xué)生運(yùn)用動(dòng)量知識(shí)解決實(shí)際問題的經(jīng)典模型.對(duì)于碰撞后兩物體速度范圍的確定和求解是對(duì)碰撞類問題考察的一個(gè)重要途徑，這類問題往往以選擇題的形式呈現(xiàn).在處理該類問題時(shí)，通常依據(jù)物體碰撞前后動(dòng)量守恒、機(jī)械能不增加和速度合理3個(gè)制約關(guān)系來排除錯(cuò)誤選項(xiàng)[1,2].這種處理方法雖然有利于學(xué)生深刻理解碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)量、機(jī)械能和速度3個(gè)物理量的關(guān)系，但是判斷的計(jì)算過程過于繁雜，同時(shí)對(duì)于碰撞后兩物體的速度范圍也沒有得到實(shí)質(zhì)性求解.另外文獻(xiàn)[3]的函數(shù)解析和文獻(xiàn)[4]的圖像法，雖然給出了特定條件下碰撞后物體速度范圍的求解方法，但不具有普適性，同時(shí)在求解時(shí)都面臨復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算.下面筆者通過在兩種參考系下的碰撞過程分析給出碰撞后物體速度范圍的簡(jiǎn)單計(jì)算方法.

1 實(shí)驗(yàn)室參考系下的碰撞過程分析

如圖1所示，兩個(gè)質(zhì)量為m1和m2的小球A和B分別以速度v1，v2同向運(yùn)動(dòng)并發(fā)生對(duì)心碰撞，碰撞后小球A和B的速度分別為v′1，v′2.

分析:根據(jù)碰撞過程中動(dòng)量守恒

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2

(1)

圖1 同向?qū)π呐鲎?/p>

(2)

(3)

v′1=vc+κm2e

(4)

v′2=vc-κm1e

(5)

根據(jù)表達(dá)式(4)、(5)，在碰撞初始條件(質(zhì)量和碰撞前速度)確定的情況下，兩物體碰撞后物體速度大小取決于物體的恢復(fù)系數(shù)，并與恢復(fù)系數(shù)呈一次函數(shù)關(guān)系.當(dāng)物體發(fā)生彈性碰撞(e=1)和完全非彈性碰撞(e=0)時(shí)，物體碰撞后速度取得最值；在發(fā)生非彈性碰撞時(shí)，物體碰撞后的速度介于這兩種極限碰撞的碰后速度之間，即在兩個(gè)物體發(fā)生一維對(duì)心碰撞后，物體碰撞后的速度介于彈性碰撞和完全非彈性碰撞這兩種極限碰撞的碰后速度之間.

式(4)、(5)表明，兩物體碰撞后速度只是在彈性碰撞和完全非彈性碰撞時(shí)取得最值，并非彈性碰撞后速度最大，完全非彈性碰撞后速度最小，消除了部分學(xué)生對(duì)物體碰撞后速度最值的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).

2 質(zhì)心參考系下的彈性碰撞過程分析

上文在實(shí)驗(yàn)室參考系下，通過引入恢復(fù)系數(shù)求出兩體對(duì)心碰撞后速度介于彈性碰撞和完全非彈性碰撞這兩種極限碰撞的碰后速度之間.但對(duì)于彈性碰撞速度的求解過程稍顯繁雜，下文筆者在質(zhì)心參考系中對(duì)物體碰撞后速度進(jìn)行分析求解.

分析:小球A,B彈性碰撞過程中機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒的表達(dá)式為

(6)

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2

(7)

聯(lián)立式(6)和式(7)，得

(8)

(9)

m1v1+m2v2=(m1+m2)vc

(10)

則

(11)

選取質(zhì)點(diǎn)系A(chǔ)，B的質(zhì)心為參考點(diǎn)建立質(zhì)心參考系，用vA，vB表示小球A，B在質(zhì)心參考系中碰撞前的速度，用v′A，v′B表示小球A，B在質(zhì)心參考系中碰撞后的速度，則

(12)

(13)

聯(lián)立表達(dá)式(8)、(9)和式(11)得

(14)

(15)

聯(lián)立式(12)～(15)得

v′A=-vAv′B=-vB

(16)

即

v′1-vc=-(v1-vc)

(17)

v′2-vc=-(v2-vc)

(18)

即在質(zhì)心參考系中，兩個(gè)物體發(fā)生彈性對(duì)心碰撞后，各物體碰撞前和碰撞后的速度大小相等方向相反.

3 兩體對(duì)心碰撞后速度范圍的確定及求解方法

對(duì)于兩物體對(duì)心碰撞后的速度范圍，我們可以通過上文兩種參考系下的分析結(jié)果進(jìn)行確定和求解.

解法一:求出兩體彈性碰撞和完全非彈性碰撞兩種極限碰撞條件下的臨界速度，然后對(duì)這兩個(gè)臨界速度取閉合區(qū)間，即為物體碰撞后速度的取值范圍.

解法二:求出兩體完全非彈性碰撞后的速度，再利用v′1-vc=-(v1-vc)和v′2-vc=-(v2-vc)即可快速求出彈性碰撞后的速度，然后對(duì)這兩種速度取閉合區(qū)間，即為物體碰后速度的取值范圍.

【例題】小球1和小球2在光滑的水平面上沿同一直線、同一方向運(yùn)動(dòng)，m1=1 kg，m2=2 kg,v1=6 m/s,v2=2 m/s,當(dāng)小球1追上小球2并發(fā)生碰撞后，小球1和小球2速度的可能值是(取兩球碰撞前的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎?( )

A.v′1=5 m/sv′2=2.5 m/s

B.v′1=2 m/sv′2=4 m/s

C.v′1=-4 m/sv′2=7 m/s

D.v′1=7 m/sv′2=1.5 m/s

解法一:當(dāng)兩小球發(fā)生彈性碰撞時(shí)

根據(jù)動(dòng)量守恒得

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2

根據(jù)機(jī)械能守恒得

則

當(dāng)兩物體發(fā)生完全非彈性碰撞時(shí)

根據(jù)動(dòng)量守恒得

m1v1+m2v2=(m1+m2)vc

則

解法二:當(dāng)兩小球發(fā)生完全非彈性碰撞時(shí)

根據(jù)動(dòng)量守恒得

m1v1+m2v2=(m1+m2)vc

則

小球1碰撞過程滿足v′1-vc=-(v1-vc)，則

小球2碰撞過程滿足v′2-vc=-(v2-vc)，則

所以選項(xiàng)B正確，通過這兩種方法的使用不僅能簡(jiǎn)單快速處理該問題，還能計(jì)算出兩球的碰后速度范圍，使得物體碰后速度得到真實(shí)求解.同時(shí)在本例題中小球1發(fā)生彈性碰撞后速度取得最小值，而發(fā)生完全非彈性碰撞后速度取得最大值，充分說明在發(fā)生彈性碰撞和完全非彈性碰撞時(shí)，物體碰撞后的速度只是取得最值，并不是彈性碰撞后物體速度最大，完全非彈性碰撞后物體速度最小，有效地消除學(xué)生對(duì)碰撞后物體速度取值的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).

4 結(jié)束語(yǔ)

通過在兩種參考系下的碰撞過程分析，對(duì)兩物體碰撞后的速度范圍實(shí)現(xiàn)界定和求解，簡(jiǎn)化了處理過程，降低求解難度，彌補(bǔ)了以碰撞三要素為依據(jù)的排除法在求解這類問題中的不足.對(duì)兩體碰撞后速度范圍的真實(shí)求解，消除了學(xué)生對(duì)彈性碰撞碰后物體速度最大、完全非彈性碰撞后物體速度最小的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)碰撞過程的理解和認(rèn)識(shí).