簡諧振動的物理教學及教育心理學探討*

金碩 舒小林 李林玉 王金良

(北京航空航天大學物理學院 北京 100191)

振動通常是指物體在其平衡位置附近來回往復的運動，而簡諧振動則是振動中滿足一定條件下的基本運動形式.它是機械運動中常見的重要運動形式之一，也是學習機械波、電磁波、波動光學等章節內容的基礎.對于簡諧振動及其相關問題的討論也成為教學研究的熱點，如利用MATLAB從理論、圖像等方式模擬機械振動的物理模型[1]，采取旋轉矢量法簡化簡諧振動的數學過程[2～4]，同方向、同頻率簡諧振動合成初相位問題不同方法之間的教學效果等[5].因此，簡諧振動成為質點力學的重點教學內容.現有的國內大學物理教材中有兩種常見的編寫方式.同時，物理學作為自然科學的重要組成部分，其相關學習屬于教育心理學的認知學習范疇，對學習的具體認知過程和信息加工過程進行分析和探討，將有利于促進教學目標的實現和學生知識認知結構的形成.本文將針對簡諧振動相關教材的編寫和教學方式，從知識結構進行教學基礎和特點的分析，并結合教育心理學認知結構的學習理論進行相關討論，以期更好地幫助學生建立清晰認知結構，為克服物理學習的難點提供有效幫助，為簡諧振動等教學模塊的物理教學提供相應的參考.

1 物理教材中常見的編寫方式

國內物理專業的力學教材和大學物理教材中，振動通常單獨作為一章內容講授，以便學生深入地學習和掌握振動相關的知識點，對于振動章節的編寫和相應的教學方式主要有兩種情況.其一，部分大學物理教材先給出簡諧振動的運動學方程[6,7]，按照質點運動學描述運動規律的方式，引入做簡諧振動物體的速度、加速度等運動學物理量，通過驗證的方式得到簡諧振動的動力學微分方程，再另成小節介紹簡諧振動的動力學性質.教材內容編寫的次序是從簡諧振動運動學到動力學.其二，教材的編寫方式從研究振動物體的動力學出發[8～10]，分析做簡諧振動物體的受力情況，給出牛頓第二定律的動力學方程，求解得到簡諧振動的運動學方程，再分析其運動學特征和機械能等.教材內容編寫的次序是從簡諧振動動力學到運動學.

簡諧振動對應的兩種教材編寫和教學方式各有特點.按照質點運動學引入的教材編寫方式是從簡諧振動的運動學方程出發.以如圖1所示的水平振動的彈簧振子為例來說明.

圖1 彈簧振子示意圖

彈簧左端固定，彈簧右端系有一質量為m、可視為質點的物體，物體可在光滑的水平桌面上來回運動，這種結構稱為彈簧振子.采用簡諧振動的運動學方程定義簡諧振動，即質點偏離平衡位置的位移按余弦函數隨時間變化的運動為簡諧振動，其運動方程為

x=Acos(ωt+φ)

(1)

其中A為簡諧振動的振幅，ω為圓頻率，φ為初相位.通過式(1)介紹簡諧振動的振幅、圓頻率、周期、頻率等振動特征物理量，計算振動過程中系統的機械能等內容.

進一步，根據速度和加速度的定義可得到做簡諧振動物體的速度和加速度分別為

(2)

(3)

基于式(3)簡諧振動物體的加速度和式(1)偏離平衡位置位移公式的定量關系，得到簡諧振動滿足的動力學微分方程

(4)

由牛頓第二定律及式(3)，可以得到

(5)

上式關系表明做簡諧振動的質點所受的合外力與它偏離平衡位置的位移成正比，但方向相反，即受到線性回復力作用.

根據質點動力學引入的教材編寫方式是基于質點動力學問題的求解方法，即分析振動物體受力情況，列出牛頓運動方程，導出運動微分方程，求解得到運動學方程并討論其運動過程.如圖1中，當彈簧自然伸長時，物體處于平衡位置.以此平衡位置為坐標原點，水平向右為x軸正方向.當物體向右偏離平衡位置，發生位移x時，物體受到彈簧的回復力為-kx(負號表示回復力指向x軸負方向，圖示向左)；而當物體向左偏離平衡位置，發生位移-x時，物體受到回復力為kx(方向指向x軸正方向，圖示向右).根據質點的受力情況，得到牛頓第二定律的動力學方程為

(6)

2 質點動力學認知結構的兩類基本問題

實際上，質點做簡諧振動的運動是質點力學中有代表特點的運動形式之一.在物理專業力學課程或大學物理課程的質點力學部分，已經建立了質點力學的完整知識結構，而質點力學又可分為質點運動學和質點動力學兩個部分.

質點運動學不涉及物體的質量和受力情況，只研究質點位置、位移、速度和加速度等運動參量間的關系，在不同坐標系中具體化為速度和加速度的定量表達式，進而研究質點運動學中的兩類問題及兩類問題的求解方法，從而建立起系統的質點運動學知識結構.質點動力學研究物體所受力與物體運動的關系，既涉及物體運動又涉及其受力情況，與物體的質量有關，通過以牛頓三大運動定律為基礎的一系列定理，如動能定理、功能原理、動量定理、角動量定理等，以及它們的守恒定律來研究質點運動和其變化的原因.結合并類比質點運動學中常見的兩類基本問題[6～10](對應數學中的微分法和積分法)，我們把質點動力學中的問題分成如圖2所示的兩類基本問題，建立質點動力學相應的知識框架結構.通過比較發現，簡諧振動作為一種機械運動形式，其相關教學內容自然需要基于上述質點動力學中的兩類基本問題展開，其教學目標是通過教學使學生掌握簡諧振動的動力學和運動學特征.第一種教材編寫方式基于質點動力學中第一類問題的認知方法.采用運動學方程定義簡諧振動，通過求導的方法得到質點的加速度，根據簡諧振動的位移和加速度關系，對比牛頓第二定律，尋求質點做簡諧振動的原因，即受到線性回復力的作用.第二種教材編寫方式基于質點動力學中第二類問題的認知方式.質點做簡諧振動的成因即為本身受到的線性回復力，體現為來回往復的運動形態.因此，先根據質點的受力情況，再列出對應的牛頓方程，進而求解得到運動學方程.

圖2 質點動力學兩類基本問題的知識結構

3 物理教學的教育心理學分析

學生在學習過程中對知識的獲得和認知結構的建立，從教育心理學的認知主義學習角度來看[11～15]，學生不只是在強化條件下簡單重復地接受刺激，形成反應連接，更重要的是積極主動地應用已建立的認知結構，通過相關內部信息加工活動方式，完善、充實原有認知結構，或形成新的認知結構.物理學中的概念、原理、定律、理論和方法等都是屬于教學心理學中的認知學習范疇.

在教育心理學中，認知結構可以看成是人們認識現實世界的內在編碼系統[11,12].首先，它是由一系列相互關聯的類別構成，這些類別可以是有相似屬性的對象或事物，并且依據確定的規則及規律將這些類別分類.其次，學生的學習過程就是類別化的活動過程，他們可以對學習材料所呈現的現象、遵循的規律進行概括，把這些知識點歸為某一類別，并依據這一類別對與它相關的類別做出分析，在具體知識的基礎上形成更具規律的一般編碼系統.再次，這種一般編碼系統一旦形成，新的信息就可以納入到這種有組織、有層次的認知知識結構中.學習知識就不再是簡單地學習具體的類別，而是怎么樣掌握和運用編碼系統，通過各類別之間的相互關聯來超越給定的信息，達到舉一反三、觸類旁通的目的.因此，從學習自然科學的角度來講，這種有組織的編碼系統更利于學生對知識的掌握和應用.學生在物理學習過程中用類別化活動來感知新的知識，并對新知識點進行加工，形成有組織、有層次的知識點結構組織或自己的編碼系統，這些構建的認知結構就是進行推理、思考和研究的基礎.

針對簡諧振動這部分的教學內容，學生在學習之前已經建立了質點力學的一般編碼系統，掌握了質點動力學的兩類基本問題.簡諧振動的教學從教育心理學角度來講，就是如何讓學生把新的信息知識納入到已經掌握的編碼系統，強化和擴展原有編碼系統的過程.本文所述的看似兩種不同的教材編寫方式，分別從質點運動學和動力學的先后次序入手，但實則都是解決簡諧振動的動力學問題，教學目標均為使學生掌握簡諧振動的動力學和運動學特征，只是從不同的出發點，通過其各自鮮明的特色，引導學生成功地建立對簡諧振動知識體系的認知結構，完全符合教育心理學的認知學習理論.

實際上，教育心理學中的認知信息加工理論還會根據個體反應活動的形式不同將知識分成陳述性知識和程序性知識[11,12].陳述性知識是學生認識客觀環境及其相互關系的知識，它是可以用語言來表達或通過可視化方式來描述的知識，陳述性知識主要是回答事物是什么、為什么以及怎么樣的問題，對應于物理學中的一些基本概念等.程序性知識是關于認知的技能如何操作，即如何做事情的知識，它是學生應用已經具有的，用于具體情境的算法、方法和一套執行步驟，比如對應物理學中的一些原理和方法等.因此，對于物理中簡諧振動相關的學習，教學的最終目的是讓學生通過教學內容安排，建立其運動學和動力學相應特征的認知結構，因此，對于此部分的認知結構形成，程序性知識的個體反應更為理想.

特別地，按照第一種教材編寫進行的教學方式是認為質點的運動情況已知，探究質點做簡諧振動的原因.其編寫方式的特點是按照質點動力學第一類問題的認知結構，具體應用到簡諧振動，即可以看成是質點動力學第一類問題的陳述性知識向質點動力學第一類基本問題的程序化知識轉變的例子.這種方式給出了簡諧振動的直觀運動形式，避開運動微分方程求解的難點，非常適合學生在高等數學知識學習與物理教學不同步時采用.按照第二種教材編寫進行的教學方式是認為質點的受力情況已知，要研究其運動遵循的規律.這種方式的主要特點是當質點受力情況發生變化，很自然地推廣到阻尼振動和受迫振動的情況.這種方式在編寫簡諧振動、阻尼振動和受迫振動時，內容從易到難有很好的遞進關系.教學內容由淺入深，從簡諧振動的理想模型逐漸深入到阻尼振動、受迫振動實際情形的物理學研究方法.可以看到，它是質點動力學的第二類基本問題編碼系統的拓展和深入，也包括動力學第二類問題的陳述性知識向其程序化知識的轉化.

根據上述分析，就利用原有的動力學解決問題的方法去獲得簡諧振動相關認知結構的過程角度來講，按照第二種教材編寫進行的教學方式更符合認知心理學的學習理論.這也是國內教材中多采用此方式編寫的原因之一.當然，按照第一種教材編寫進行的教學方式也有其適用和合理之處，尤其是考慮認知理論中影響學習因素的主體——學生原有的認知結構及體系，比如可以避開數學難點等.因此，在采用第一種教材對應的教學后，補充講解和說明第二種教材方式的教學要點，也能很好地幫助學生建立良好的質點動力學知識的編碼系統，達到同樣的學習和教學效果.物理教學中，這種類似的程序化知識轉化方法也可以同樣應用到波動章節、剛體運動的分析中.

在物理教學中，有很多利用教育心理學方法促進實現教學目標的例子，如在剛體力學、電磁學等教學中結合教育心理學中的類比學習法、遷移學習法等的應用[16～18].物理學是研究物質運動普遍規律的學科，教學目標的確立必須從所要構建的知識認知結構出發，培養學生用類別化活動來感知新的知識，促進完成陳述性知識向程序化知識的轉化，從而形成有組織、有層次的認知結構或者編碼系統，這是整個教學過程的核心.學生的認知結構是從教材的知識結構和教學中轉化而來的，結合教育心理學的要點，將有利于更好地突出物理學科最具生命力、最有價值的知識體系，最大程度地保障教學過程的效果和教學目標的實現.學習的過程不僅要讓學生掌握具體的知識與技能，更要讓學生掌握其中的心智技能，學會學習.