對大學物理課程中“e指數規律”的探討

陳學文 江 秦 張家偉 劉春蘭

(重慶科技學院數理與大數據學院，重慶 401331)

大學物理課程主要分為力學、熱學、電磁學、光學和近代物理五部分，從其物理運動機理來看，彼此之間似乎是互不關聯的。然而大學物理課程又是一門規律性很強的學科，許多看來似乎互不相干的物理現象，在某種意義上也遵循著共同的規律。例如：萬有引力和靜電場力均滿足“平方反比”定律，二者都是保守力，做功與路徑無關，均可引入相應的勢能，因此可以將二者“統一”起來描述[1,2]；質點的平動與剛體的定軸轉動，它們的物理規律具有高度相似性，在學習剛體定軸轉動時，結合質點平動相關知識點，只要對應相應的物理量和物理規律，可快速掌握剛體定軸轉動相關知識[3]；靜電場和恒定磁場同樣有很多相同的規律，用高斯定理和環路定理描述二者場的性質，在求解靜電場和恒定磁場時，分析計算過程也具有相同的規律[4]。

常數e與物理學有密切聯系，物質運動中常常有e的身影。在數學上，某一變量的改變率與它本身成正比時，此改變量的數學形式為e-指數函數的形式。文獻[5]討論了自然常數e與物理學的關系。在許多物理過程中，相應的物理量滿足“e指數規律”。例如：力學中質點運動過程中受到與其速度成正比的粘滯阻力的運動，剛體在定軸轉動過程中受到阻力矩的轉動，熱學中的等溫壓強公式，電磁學中的暫態過程，介質對光的吸收和散射，原子核的放射性衰變等，均滿足指數規律。此外，在復利計算、老鼠(細菌等)增長與時間的關系、化學污染的衰退時間、化學反應中濃度與反應時間的關系等問題，也滿足e指數規律。文獻[6]討論了常數1/e在電磁學中的重要性及其物理意義。在本文中，筆者對大學物理課程中滿足指數規律的物理問題做了討論和總結。希望通過這些實例，展示不同物理現象之間相關聯的規律性，顯示數學規律在物理研究中的作用。

1 大學物理課程中的指數規律

1.1 力學中的指數規律

質點或物體在粘滯流體(如空氣、水等)中運動時，當速度不太大時，其所受到的粘滯阻力與速度的一次方成正比。設有質量為m的質點在粘滯液體中運動，初速度為v0，質點在運動過程中受到粘滯阻力Fr=-kv且受到的其他合外力為零(如高臺跳水，運動員入水后所受到的重力與浮力相等)。根據牛頓運動定律可得

(1)

對上述一階微分方程分離變量并積分：

(2)

另外一種情況是質點在運動過程中所受到的合外力滿足F=a-bv(例如小鋼球在蓖麻油中下落，在下落過程中受到重力、浮力和粘滯阻力Fr=-bv的作用)。在此情況下有

(3)

(4)

類似于質點的阻尼運動，在剛體定軸阻尼轉動中也存在著指數規律。例如，齒輪或風扇等的定軸轉動。若關閉齒輪和風扇的電源，它們將在軸的摩擦阻力矩Mz=-kω作用下運動。其角速度ω與t的關系滿足ω(t)=ω0e-kt/J時，受到恒定力矩M和阻力矩的共同作用，其角速度ω與t滿足ω(t)=ω0(1-e-kt/J)。

1.2 熱學中的指數規律

玻爾茲曼把麥克斯韋速率分布推廣到氣體分子在任意場中運動的情形，從而得到了重力場中的等溫壓強公式，并證明等溫壓強公式(對流層中大氣壓強與高度的關系)滿足e指數規律。一般條件下，大氣壓強和溫度均會隨著高度的變化而變化，且變化十分復雜，因而對大氣壓強隨高度變化的研究也十分困難。為了加強對大氣壓強變化規律的探索，本文先研究在等溫大氣中壓強的變化規律。關于地球表面壓強問題，文獻[7]分別從分子運動論的觀點和力學的觀點對此作了詳細探討。正如文獻[7]中所指出的地球本身是一個球體，因而討論大氣壓強時所選取的氣體體積元應為如圖1中所示的錐形(陰影部分)。此外，除大氣重量外其他因素也有影響。由于地球半徑很大，因此，在理想情況下可將大地看做平面，因而圖1中的錐形空氣柱可看成圓柱形空氣柱如圖2所示。首先假設等溫大氣處于平衡態，現在選取垂直高度為z～z+dz，面積為S的一薄層氣體為研究對象，分析這一等溫大氣薄層氣體的受力情況，如圖2所示。

圖1 地球表面氣體壓強示意圖

圖2 等溫壓強示意圖

其中，p為氣體薄層底部受到的壓強，dp為氣體薄層上下表面的壓強差，ρ(z)為高度為z處的大氣密度，g為重力加速度且不隨高度變化。由于該大氣系統處于平衡狀態，應該達到力學平衡，分析其受力情況為pS=(p+dp)S+ρ(z)gSdz，即

dp=-ρ(z)gdz

(5)

(6)

(7)

上式稱為等溫壓強公式。其中p0是海平面的大氣壓強，Mm=0.029kg/mol為空氣摩爾質量。

在實際情況中，氣溫也與海拔有關，在對流層，海拔每升高1000米，氣溫下降約0.6攝氏度，溫度與海拔的關系可表示成T=T0-αz，α=0.006K/m。在此情況下，(6)式變成

(8)

(9)

完成積分運算可得

(10)

圖3 大氣壓強隨海拔高度的變化

圖3給出了理想情況下的等溫壓強和考慮高階修正的壓強隨海拔高度的變化。圖中實線表示等溫壓強隨海拔高度的變化，虛線表示考慮了溫度影響的壓強隨海拔高度的變化。

1.3 電磁學中的指數規律

直流電路中的暫態過程:暫態過程一般經歷時間很短,但出現的現象有時非常重要。如發電、供電設備由于開關操作所引起暫態過程中,某些部分可能出現比穩態時大數十倍的電壓、電流,嚴重威脅電氣設備和人身安全，但在電子電路中卻有巧妙應用。

(11)

分離變量并積分，得

(12)

圖4 RL電路的接通

若t=L/R時，i(t)=I0(1-e-1)=0.63I0，當電流從0增加到恒定值的63%所需的時間為L/R。

(2) 已通電RL電路的短接(圖5)。當通過RL的電流已經穩定以后，按下開關K，源電路被開關K所在的短路線cd分為兩個互不影響的回路：abcda和dcfgd。對于含R、L的回路abcda，K接通后雖然它已經脫離電源，但由于L的自感作用，該回路的電流還要持續一段時間才會消失。

圖5 已通RL電路的短接

(13)

若t=L/R時，i(t)=I0e-1=0.37I0，當電流從I0遞減到恒定值的37%所需的時間為L/R。

L越大，R越小，時間越長，電流增加或遞減得越慢。L/R標志LR電路中暫態過程持續時間長短的特征量即時間常量，用τ表示，時間常量τ越大，暫態過程中電流變化越慢。

1.4 光學中的指數規律

光在穿過介質時，介質會吸收部分光。此過程可用朗伯-比爾定律表述：光被透明介質吸收的比例與入射光的強度無關；在光程上每等厚層介質吸收相同比例值的光。如圖6所示，一束光穿過介質，介質對光的吸收系數為α，即Iout-Iin=-Iinαdx。可用微分方程將其表示成

(14)

分離變量并積分，可得

I(x)=I0e-αx

(15)

圖6 光穿過介質時吸收的示意圖

1.5 放射性元素衰變的e指數規律

將一定量的某放射性元素單獨收存起來，它的數量會逐漸減少，因為一部分經放射過程變成另一種元素了。這叫衰變。在足夠多的原子核中，每一個核在什么時候發生衰變是不能預知的。但是如果在短時間dt內，有dN個核改變，從統計觀點，改變率dN/dt必定與當時存在的總原子核數目y′=-ky成正比，即

(16)

λ是比例常數，是放射性物質衰變快慢的標志，成為衰變常數。令t=0時e-1≈0.367，上述方程的解為

N(t)=N0e-λt

(17)

2 指數規律總結

綜合以上具體例子，表1簡要總結出了大學物理課程中遵循指數規律的部分物理過程。

表1 滿足指數規律的部分物理過程

自然界中遵循指數規律的物理過程是廣泛存在的，這些物理過程離不開形如y′=-ky和y′=c-ky類型的一階微分方程，其通解分別為y=y0e-t/τ和y=y0(1-e-t/τ)因此這類微分方程在物理上的重要性是不言而喻的。由于指數規律衰減很快，所以y很快趨于0或y0。例如球形小球在流體中下落(如“落球法測量蓖麻油的粘滯系數”實驗中小鋼球在蓖麻油中下落，“密立根油滴”實驗中油滴在空氣中下落)時，在雷諾數不太大時其受到的粘滯阻力可由斯托克斯公式Fr=-6πηrv給出。此情況下6πηr/m相當于式(4)中的b，“弛豫時間”為τ=m/6πηr=2r2ρ/9η，可以看出小球半徑越小、流體粘滯系數越大，“弛豫時間”越短。對于蓖麻油，其粘滯系數與溫度有關，溫度為20℃時η20℃=0.95Pa·s，鋼球半徑取r=1mm，鋼球密度ρ鋼=7900kg/m3，在此情況下弛豫時間τ=0.00185s。由于e-7≈0.0001，1-e-7≈0.999，鋼球經過7τ=0.013s的時間便達到最終速度的0.999倍，此時可以認為鋼球已經達到勻速；對密立根油滴實驗，空氣粘滯系數η=1.83×10-5Pa·s，油滴典型半徑r=8.0×10-7m，油滴(鐘表油)密度ρ油=981kg/m3，則τ=3.43×10-5s。油滴經過7τ=2.4×10-4s的時間便達到勻速。在RL電路中，電阻越小、電感越大，弛豫時間τ=R/L越大。又如對于一般家用40W日光燈鎮流器的電感約為1H，20W日光燈鎮流器的電感約為1.2H，8W日光燈鎮流器的電感約為2H，它們的弛豫時間約為0.0003～0.001s之間，則RL電路中電流經過很短時間(≤0.007s)便衰減到0或者增加到I0。可以看出，由于e指數衰減很快，實際中物理量會迅速達到常量或衰減到零。

3 結語

大學物理課程是一門規律性很強的科學，將不同的物理現象、物理過程用同一個數學規律統一描述，能夠將不同的知識統一在一起理解，不僅加深對物理過程的理解，也可加深對相關數學知識的深入理解與應用。“e指數規律”便是大學物理中一個十分普遍和重要的規律。