基于離散蒙特卡洛的一種3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間分析

李旭，羅霞，羅成，孫淼

基于離散蒙特卡洛的一種3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間分析

李旭1，羅霞1，羅成1，孫淼*,2

（1.東方電氣集團(tuán)東方汽輪機(jī)有限公司，四川 德陽 618000；2.四川省機(jī)械研究設(shè)計(jì)院，四川 成都 610063）

針對一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為2-PRPU型的3T1R空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)，采用離散式蒙特卡洛法，通過對動(dòng)平臺轉(zhuǎn)動(dòng)自由度作離散化處理，在輸入對稱的情況下，實(shí)現(xiàn)了整個(gè)空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的定姿態(tài)工作空間、可達(dá)工作空間和靈活工作空間的可視化。從定姿態(tài)工作空間、靈活工作空間和可達(dá)工作空間的角度分析2-PRPU型空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作性能，表明該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺的可達(dá)工作空間范圍較大，且大部分為靈巧工作空間。這為多自由度空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究和應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

3T1R；并聯(lián)機(jī)構(gòu)；工作空間；離散蒙特卡洛

并聯(lián)機(jī)構(gòu)是具有兩個(gè)或兩個(gè)以上自由度，且以并聯(lián)方式驅(qū)動(dòng)的一種閉環(huán)機(jī)構(gòu)[1-2]，其中3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)[3-6]能夠?qū)崿F(xiàn)三個(gè)方向的平移和繞一個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)所繞軸線的不同，可將3T1R機(jī)構(gòu)分為3T1R、3T1R、3T1R，即動(dòng)平臺可實(shí)現(xiàn)三維平動(dòng)（,,）和分別繞、、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)[7]。目前應(yīng)用最多的是3T1R型并聯(lián)機(jī)構(gòu)。在實(shí)際生活中，3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于剛性好、動(dòng)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)在快速抓取、高速分揀等領(lǐng)域被大量應(yīng)用。工作空間是3T1R機(jī)構(gòu)工作性能的重要指標(biāo)之一，通過對工作空間的可視化研究可以幫助設(shè)計(jì)人員完善和改進(jìn)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，幫助控制人員完成路徑規(guī)劃等。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的研究方法主要有解析法、圖論解法及數(shù)值法[8]，其中以解析法和數(shù)值法最為常見。解析法具有較高的精度，但依賴于求解機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，而對并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，正解求解過程一般非常繁瑣。數(shù)值法既可依賴于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解也可依賴于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，由于正解求解困難，故數(shù)值法一般通過機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解分析工作空間。文獻(xiàn)[9-10]使用數(shù)值法分析了六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間。文獻(xiàn)[11-12]采用極坐標(biāo)搜索法研究3-RRR平面并聯(lián)機(jī)器人的工作空間邊界，并對邊界進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[13]采用基于混沌映射算法的水波法對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行快速搜索，并對相應(yīng)的機(jī)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化研究。文獻(xiàn)[14]中通過D-H方法建立3-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解數(shù)學(xué)模型，得到非線性方程組，利用MATLAB數(shù)值求解方程，實(shí)現(xiàn)了工作空間的仿真。

1 2-PRPU機(jī)構(gòu)描述與分析

本文研究的2-PRPU型3T1R空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示。O-yz和O-yz分別為固定在機(jī)架和動(dòng)平臺上的笛卡爾坐標(biāo)系，它們通過2個(gè)PRPU支鏈相互連接，每個(gè)PRPU支鏈包含一個(gè)與機(jī)架相連的PR副（P副與R副組成一個(gè)C副），C副的軸線平行于U鉸鏈中第一個(gè)R副的鉸鏈。動(dòng)平臺通過2個(gè)R副與2個(gè)支鏈相連，兩個(gè)R副的軸線相互平行并且在運(yùn)動(dòng)中一直保持平行關(guān)系。1和3分別是點(diǎn)1和2到定坐標(biāo)系原點(diǎn)O的距離，表示兩個(gè)與機(jī)架相連的P副的輸入運(yùn)動(dòng)變量。2和4分別是構(gòu)件11與22的長度（即支鏈長度），表示剩下兩個(gè)P副的輸入運(yùn)動(dòng)變量。表示構(gòu)件12的長度。姿態(tài)角是構(gòu)件12與軸間的夾角（逆時(shí)針方向?yàn)檎硎玖藙?dòng)平臺的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。角度θ（＝1,2,…,6）分別表示了6個(gè)R副的副變量。1和θ2、4和5、3和6依次為與軸、、的逆時(shí)針方向夾角。

圖1所示機(jī)構(gòu)中，兩個(gè)C副的軸線分別平行于軸和軸，因此兩個(gè)U鉸鏈的第二個(gè)R副的軸線均平行于軸。1和2是兩個(gè)U鉸鏈的幾何中心。1（2）是1（2）到軸（）垂線的垂足。兩個(gè)U鉸鏈的第二個(gè)R副的軸線方向必須保持相互平行，而兩個(gè)U鉸鏈的第一個(gè)R副轉(zhuǎn)動(dòng)方向均由各自相連的PRPU支鏈從幾何上確定。因此，在運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)平臺法方向不變，動(dòng)平臺始終繞（）軸旋轉(zhuǎn)。

圖1 機(jī)構(gòu)示意圖

2 機(jī)構(gòu)的位置反解與約束條件

以四元組(1,2,3,4)T表示輸入運(yùn)動(dòng)空間中的一點(diǎn)，1、2、3和4對應(yīng)各個(gè)驅(qū)動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)變量。以在定坐標(biāo)系O-yzb中動(dòng)平臺上點(diǎn)1坐標(biāo)(1,1,1)和姿態(tài)角唯一表示動(dòng)平臺的位姿。以四元組(1,1,1,)T表示工作空間中的一個(gè)點(diǎn)，即機(jī)構(gòu)的實(shí)際工作空間由(1,1,1,)T的集合表示。

直接由圖1可以得下列關(guān)系：

式中：1、2、1、2為在坐標(biāo)系O-xyz中對應(yīng)各點(diǎn)的坐標(biāo)向量。

運(yùn)動(dòng)學(xué)反解分析是在給定動(dòng)平臺位姿的情況下，找到所有滿足約束條件的驅(qū)動(dòng)器參數(shù)，即在給定(1,1,1,)T的情況下，找到所有的(1,2,3,4)T。在本文研究的2-PRPU型3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，一旦給定1、1、1和，輸入運(yùn)動(dòng)參數(shù)1和2可以計(jì)算為：

然后，2點(diǎn)的坐標(biāo)可以由式（3）算出：

最后，剩下的輸入運(yùn)動(dòng)參數(shù)3和4計(jì)算為：

考慮對應(yīng)于實(shí)際情況的P副一般由直線電機(jī)或者油缸等驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)，其直線行程有一定范圍，相應(yīng)地假設(shè)該2-PRPU型3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)中四個(gè)P副的直線輸入運(yùn)動(dòng)在一定范圍內(nèi)且均為[0,20]。則可有如下工作空間約束條件：

3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間分析的離散式蒙特卡洛法原理

3T1R機(jī)構(gòu)包含四個(gè)自由度，其可視化相對較難，往往需對其降維。本文采用的離散式蒙特卡洛法不但可應(yīng)用于最常見的3T1R型四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，亦可用于3T1R型和3T1R型。

離散式蒙特卡洛法基于蒙特卡洛法，是一種利用“隨機(jī)數(shù)”或“偽隨機(jī)數(shù)”結(jié)合機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間可視化分析的方法，其適用于絕大多數(shù)3T1R空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)。關(guān)于離散式蒙特卡洛法的具體原理介紹及算法流程可以參考文獻(xiàn)[15]。結(jié)合前期的工作，可以給出應(yīng)用Mathematica軟件分析該2-PRPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的算法，如圖2所示。

圖2 計(jì)算流程圖

4 工作空間可視化分析

下面以本文中的2-PRPU型3T1R空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間可視化為例，在Mathematica中可視化分析機(jī)構(gòu)的定姿態(tài)工作空間、靈活工作空間和可達(dá)工作空間，相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 機(jī)構(gòu)相關(guān)參數(shù)表

4.1 定姿態(tài)工作空間

定姿態(tài)工作空間是指機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺在約束條件下以某一固定姿態(tài)，動(dòng)平臺參考點(diǎn)能夠到達(dá)的所有位置的點(diǎn)的集合[16]。本文機(jī)構(gòu)中，用前面所述的角表示動(dòng)平臺的繞（）軸的姿態(tài)夾角，1為動(dòng)平臺參考點(diǎn)，則定姿態(tài)工作空間S是取定每一個(gè)α角對應(yīng)的1點(diǎn)所能達(dá)到的范圍。這里取姿態(tài)角為0、π/4、π/2、3π/4、π對應(yīng)的定姿態(tài)工作空間如圖3所示。

圖3 姿態(tài)角為0、π/4、π/2、3π/4、π時(shí)定姿態(tài)工作空間

從圖3可以看出，當(dāng)姿態(tài)角為π時(shí)，工作空間是最大；當(dāng)姿態(tài)角為π/2時(shí)，工作空間最小。姿態(tài)角從0～π過程中，工作空間呈現(xiàn)先逐漸較小后逐漸增大的趨勢。

4.2 可達(dá)工作空間

機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間指在結(jié)構(gòu)限制下機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺的姿態(tài)角在0～2π范圍內(nèi)連續(xù)變化，所得到的所有定姿態(tài)工作空間的并集[17]。從圖4可以看出，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間體積較大，邊界清晰且內(nèi)部無空腔或空洞，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺運(yùn)動(dòng)范圍較大。這有利于該型3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用，也能為在該機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)上改進(jìn)大工作空間的并聯(lián)機(jī)器人提供參考。

4.3 靈活工作空間

靈活工作空間指機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器任意能夠到達(dá)的區(qū)域[18]。靈活工作空間范圍越大說明機(jī)構(gòu)的工作性能越好。給出2-PRPU型3T1R空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈活工作空間如圖5所示，可以看出該機(jī)構(gòu)的靈活工作空間占可達(dá)工作空間的比例較大，因此該機(jī)構(gòu)具有較好的工作性能。

圖5 靈活工作空間

5 結(jié)論

結(jié)合離散式蒙特卡洛法分析了2-PRPU型3T1R空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的定姿態(tài)工作空間、可達(dá)工作空間、靈活工作空間，結(jié)果表明該2-PRPU的定姿態(tài)工作空間隨姿態(tài)角變換而變化，且在姿態(tài)角為π時(shí)最大。通過各姿態(tài)角對應(yīng)的定姿態(tài)工作空間的并集，可得該機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間，從可達(dá)工作空間的可視化結(jié)果可看出，該機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺能到達(dá)的空間范圍較大，這將為該機(jī)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用奠定有利基礎(chǔ)。通過各姿態(tài)角對應(yīng)的定姿態(tài)工作空間的交集得到該機(jī)構(gòu)的靈活工作空間，可發(fā)現(xiàn)靈活工作空間占可達(dá)工作空間的比例較大，但還有提升空間，這將為以后改進(jìn)該機(jī)構(gòu)提供參考。

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A Discrete Monte Carlo Approach to Workspace Analysis of a Type of 3T1R Parallel Mechanism

LI Xu1，LUO Xia1，LUO Cheng1，SUN Miao2

(1.Dongfang Turbine Co., Ltd., Dongfang Electric Corporation, Deyang 618000, China; 2.Sichuan Provincial Machinery Research & Design Institute, Chengdu 610063, China)

The paper studies a type of 3T1R spatial parallel mechanism with the topology of 2-PRPU. Discrete Monte Carlo approach is applied to perform the discretization of the rotational degrees of freedom of the moving platform, which enables the visualization of the fixed-orientation, reachable and dexterous workspace of the mechanism with symmetrical inputs. The performance analysis of 2-PRPU mechanism based on fixed- orientation, reachable and dexterous workspace indicates that the reachable workspace of the mechanism’s moving platform is large and the dexterous workspace accounts for a large proportion of the reachable workspace, which laid the foundation of the research and application of multi-DOF parallel mechanism.

3T1R；parallel mechanism；workspace；discrete Monte Carlo

TH112

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2020.05.005

1006－0316 (2020) 05－0027－06

2020－01－06

四川省科技計(jì)劃（國際合作）資助項(xiàng)目（2018HH0144）

李旭（1977－），男，四川資陽人，高級工程師，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)及制造。*通訊作者：孫淼（1987－），男，四川德陽人，工學(xué)碩士，工程師，主要研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)學(xué)、機(jī)電控制，E-mail：sunmiao198@sina.com。