衛星時間窗口計算的動態步長快速算法*

汪榮峰

（航天工程大學 北京 101416）

1 引言

在衛星任務規劃［1］、數傳資源調度［2］、天基目標監視［3］等各種任務中，均需時間窗口計算功能的支持。參與計算雙方可為衛星與地面目標，也可為2空間對象，計算雙方需滿足相應的形狀、距離、角度等約束條件。

時間窗口計算的傳統方法是對衛星軌道連續跟蹤采樣，逐次判斷各采樣點處衛星與目標的位置關系。該方法實現簡單、計算結果精確、同時適用于軌道預推的數值模型和解析模型、可支持各類時間窗口計算，但計算量大、效率低。

唐榮富等［4］提出變軌交圓補償的快速算法，但計算結果存在誤差且只針對圓軌道，也未考慮載荷和地面目標的形狀特征；文獻［5］提出軌道過濾的方法大幅減少計算量；文獻［6］提出利用同軌道周期大圓對衛星星下點軌跡進行近似然后迭代計算的快速方法，但算法只能針對點目標且精度較低；李冬等［7～8］分別研究了星地和星間的時間窗口快速計算算法，其思路與文獻［6］較接近，雖考慮了J2攝動的影響，但建立控制方程時并未考慮歲差、章動與極移，誤差不可避免且計算雙方均為點目標；沈欣等［9］將成像條件方程改寫為關于偏近點角的超越方程以快速計算光學遙感衛星的成像時間窗口；文獻［10～11］研究了衛星與地面區域目標可見性的快速計算方法，其中文獻［11］還考慮了載荷形狀影響。上述算法均從幾何角度進行分析，對衛星運動規律做了一定程度的簡化，直接計算時間窗口必然存在誤差；如作為初步篩選結果，對衛星數值預推模型并不能減少采樣點計算次數，只適于解析模型。與上述算法略有區別的是文獻［12］，提出的快速算法并不單純考慮幾何條件，而是研究了攝動和大氣阻力對時間窗口的影響來進行求解，精確性更高，該算法軌道預推采用SGP4 解析模型。汪榮峰［13］提出了兩次掃描的時間窗口快速計算算法，通過擴大待判斷區域范圍進行初步篩選再進行精確判斷求解，該方法適于各類時間窗口計算，但也僅支持衛星軌道預推解析模型。

影響傳統算法效率的原因是需計算的采樣點數量過多。本文通過預測參與計算2 對象的距離動態確定采樣步長，大幅減少衛星采樣點數量以提高效率；同時具有較強的通用性，可用于解決各類時間窗口計算問題。

2 新算法原理

以地面點目標探測時間窗口計算為例說明新算法。

首先定義“廣義可視”概念（以下簡稱“可視”），表示參與計算2 對象之間位置關系滿足要求（由于有些類型時間窗口并非依據2 對象幾何可見，如衛星對地面目標的覆蓋時間窗口，因此稱為“廣義可視”）。如圖1（a）所示，探測范圍抽象為圓錐形狀，點目標O，圓錐半角為α，圓錐指向的方向矢量為OV，“可視”判斷方法為構造地面點O 到衛星位置的矢量v；矢量v與矢量OV 單位化后計算數量積μ，如μ＜0，不滿足“可視”條件；如μ＞0，計算其反余弦得到2矢量夾角β，如β＜α，滿足“可視”條件。

定義“預測距離”概念，表示參與計算2 對象之間的近似距離。衛星按軌道運動到探測范圍邊界的精確距離計算相對復雜，采用“預測距離”近似表示。“預測距離”按如下三條原則確定：1）小于實際軌道距離，否則會導致計算得到的時間窗口不精確；2）盡量偏大以加快采樣點逼近邊界的速度；3）模型簡單，便于計算，效率高。

圖1 新算法原理

衛星位置P，構造矢量OP，“預測距離”為

式中，根據衛星位置分為兩種情況：第一種情況是地面點O到衛星方向矢量與圓錐邊界夾角小于90°（β＜90°），如圖1（a）中P1、P2，以衛星到圓錐側面的垂直距離作為“預測距離”，如圖1（a）中d 所示；第二種情況是前述夾角大于90°，如圖中點P0，以衛星到地面點的距離作為“預測距離”，即圖1（a）中矢量OP0的長度。

基于“可視”和“預測距離”概念，算法偽代碼描述為

對算法執行情況進行分析。如圖1（b）所示，P0為計算開始時刻采樣點，根據該采樣點的“預測距離”計算步長，得到下一采樣點P1，如此不斷迭代，距探測范圍越近步長越小，根據設定精度（1s），計算到滿足“可視”條件的采樣點C；然后步長開始逐漸增大，采樣點為 V0、V1、V2、V3，此時步長又開始減少，直到邊界采樣點D；然后步長又進入增大過程，如此不斷進行，直至計算結束。

本節“可視”判定方法和“預測距離”計算模型可用于解決衛星與地面點目標可見時間窗口計算這一類問題，如星地鏈路時間窗口等。

3 算例與效率分析

選擇兩顆衛星（SGP4 模型，2 行軌道根數略），地面點（120°E、44°N），計算2018-3-1 8：0：0 開始24h 之內的時間窗口。分別實現傳統算法（逐采樣點計算）、兩次掃描算法［13］和本文算法，本文算法分別以“預測距離”的一半除以衛星最大速度（表1 中“實現1”）和“預測距離”除以衛星最大速度（表1中“實現2”）作為步長。四種算法得到的時間窗口完全一致，衛星1有兩個時間窗口，衛星2有三個時間窗口。各算法計算所需的采樣點數、耗時等如表1所示。

對數據進行分析，有如下結論：1）本文算法和兩次掃描算法得到的時間窗口與傳統算法完全一致，較之于其他近似算法，計算精度高；2）算法耗時與參與計算的采樣點數成正比；3）本文算法比傳統算法效率提升約99.7%。

定性分析效率影響因素：1）時間窗口個數，由于時間窗口范圍內采樣步長相對較小，故時間窗口個數越少耗時越少；2）時間窗口計算類型，不同時間窗口計算類型可供選擇的預測距離不同，影響效率；3）衛星軌道參數、載荷類型、地面目標等因素，通過時間窗口個數和“預測距離”與軌道距離的接近程度間接影響效率。

下面分析步長動態變化情況。如圖2 所示，水平方向為采樣次數，垂直軸為每次采樣對應步長（秒數）。

圖2（a）為衛星1 算法實現2 對應步長變化情況，每個波形對應一個軌道周期。最大步長1703s，最小步長1s，平均每個軌道周期約需計算18 個采樣點，大多軌道周期計算采樣點不到10 個，甚至只有6、7個。

圖2（a）中A、B、C 區域對應波形變化相對平緩且步長值很小。A 區域并非時間窗口，而是衛星接近但未進入探測范圍，該部分圖形放大后如圖2（b）所示，最小步長3s，根據算法原理，步長1s 時才表示衛星進入探測范圍。B、C 區域對應時間窗口，B區域圖形放大后如圖2（d）所示，步長減小到1s后進入探測范圍，然后步長增加，最大增加到63s，然后再次減小。

圖2（a）中D、E、F、G 等處波形對應的軌道周期與探測范圍相距較遠，采樣點數較少。

圖2（c）為衛星1 算法實現1 對應步長變化情況，與圖2（a）波形相比，步長值減少、采樣點數增加，其中A1、B1、C1區域對應圖2（a）的A、B、C區域。

圖2 采樣步長動態變化情況

關于衛星運行過程中與地面目標之間距離、角度的變化情況，文獻［14］也進行了詳細討論。

4 其他類型時間窗口計算的判斷方法與計算模型

通過構造“可視”判斷方法和“預測距離”計算模型，算法適于各類時間窗口計算。

4.1 星間可見時間窗口計算

參與計算的雙方可為航天器、空間碎片等。該模型可用于星間通信中繼鏈路、天基空間目標監視、天基測控等的時間窗口計算。

星間“可視”的條件是二者不被地球遮擋且均位于對方載荷作用范圍之內。

圖3 星間可見時間窗口計算

如圖3 所示，目標位于 A、B 位置，地球球心 O，構造矢量AB、AO，矢量AB 單位化后為V0，過點O到線段AB的垂點M（位置矢量）為

計算垂點經緯度和高程。如高程小于0（如圖中d所示），2目標被地球遮擋，不“可視”；如高程大于0（如圖3中所示），不被地球遮擋。

采用圓球形狀表示衛星載荷的作用范圍（半徑可無窮大），如圖3 所示，C、D 半徑分別為r（1無窮大）、r2，此時“可視”需|CD|≤ min(r1，r2)。

如2 對象被遮擋，如圖3A、B，以球心到對象連線垂點高程（圖3中d）為“預測距離”。

如2 對象不被遮擋，如圖3C、D，需區分情況計算“預測距離”：如2 對象作用半徑均為無窮大，以垂點高程作為“預測距離”（圖3 中 l）；如 1 或 2 對象作用半徑有限，以式（3）計算。

其中，l 為垂點高程，m 為 2 對象連線長度，r1、r2為 2對象作用半徑。

4.2 衛星對地面點目標覆蓋時間窗口計算

衛星對地面目標的覆蓋時間窗口計算，可用于衛星偵察、遙感、氣象監測等任務。

根據載荷將衛星作用范圍抽象為不同的空間形狀，文獻［15］研究了簡單圓錐、復雜圓錐、半功率點、SAR等傳感器形狀的離散表示方法。

針對圓錐（電子探測載荷、通信中繼載荷）和四棱錐（成像載荷）形狀，研究計算模型。

4.2.1 圓錐形傳感器作用范圍

如圖4（a）所示，“可視”判斷方法為計算衛星到點目標矢量與衛星傳感器指向的夾角（圖4（a）中β）；如夾角大于衛星傳感器半角（圖4（a）中α），不“可視”；如夾角小于傳感器半角，計算衛星與目標距離，如距離小于閾值（根據軌道高度、半角等計算，避免地面目標位于地球背面的情況），滿足“可視”條件。

圖4 衛星對地面目標覆蓋時間窗口計算

“預測距離”為

其中，α為圓錐半角，β為衛星到點目標矢量與衛星傳感器指向的夾角，h 為衛星高度，得到的d 如圖4（a）所示。

4.2.2 四棱錐形傳感器作用范圍

如圖4（b）所示，“可視”判斷方法為以衛星位置為原點，衛星速度方向為x 軸、衛星到地心方向為z軸建立右手直角坐標系；將地面點目標位置（點A）變換到衛星局部坐標系中，計算其在xz、yz 平面上與z軸的夾角；如2夾角小于對應的四棱錐角度，通過距離判斷是否“可視”（避免目標位于地球背面情況）。

“預測距離”通過計算地面點目標到四棱錐四個錐面的最小距離確定。點目標到每個錐面最小距離的計算算法為根據四棱錐的錐角及衛星高度，計算錐面三角形另兩個頂點（矢量加法確定射線方向，然后計算射線與地球表面交點），如圖4（b）B、C點；計算地面點到B、C 的距離和到直線BC 的垂線距離（圖4 點D 為垂點），以三者中最小值作為點A到OBC平面的最小距離。

4.3 大范圍地面區域過境時間窗口計算

采用多個點表示地面區域，如圖5 中區域ABCDE。這種方式適于與地理信息結合，計算諸如行政區劃等的過境時間窗口。

描述地面區域的每2 點與球心構造平面三角形，形成以球心為中心的復雜錐體形狀（如圖5 中OABCDE 所示）。計算各平面法向（指向錐體內部且單位化），如圖5平面OBC的法線為N0。

圖5 大范圍地面區域過境時間窗口計算

“可視”的判斷條件為衛星位于錐體內部，判斷方法為構造地心O 到衛星位置的矢量OP；計算矢量OP 與各平面單位法矢量的數量積，如數量積大于0，表示衛星位于平面正向一側；如衛星位于所有平面正側，則其位于錐體內部，滿足“可視”條件。

“預測距離”的計算方法為：計算衛星位置到錐體各平面的距離，采用方法仍是計算矢量OP 與平面單位法矢量的數量積，以該值作為衛星到平面距離，如圖5 中d 所示；以所有距離中的最小值（絕對值最小）作為“預測距離”。

5 結語

與傳統算法相比，本文算法效率上有顯著提升、精度上完全一致。現有其他各算法多以傳統算法作對照來分析效率和精度，基于相應文獻中給出的實驗結果，將本文算法與其他算法進行簡要對比分析：1）效率與其他大部分算法持平、優于某些算法，多數算法的效率優化程度與本文算法處于相同量級，耗時在傳統算法的1/100～1/400 之間，少數算法效率略低、耗時多一個數量級；2）精度優于多數算法，本文算法與傳統算法相比不損失任何精度，其他算法多對衛星運動模型、軌道形狀等做了簡化，與傳統算法相比存在一定誤差；3）相比其他算法，原理簡單、更易于實現；4）通用性優于其他算法，本文算法適于各類時間窗口計算，其他算法往往解決某一類計算問題；5）衛星軌道預推模型的適應性上劣于部分算法，本文算法只適于解析模型，不能用于數值模型，其他有些算法在簡化模型、容許誤差的前提下并不依賴軌道預推過程。