帶緩沖區且產品保修的設備預防性維護建模*

張丹丹

（上海理工大學管理學院 上海 200093）

1 引言

在每一個制造系統中，設備在運行過程中發生故障可能會使生產停滯，造成經濟損失。為了避免這種情況的發生，應在定期生產后注意預防性維護，以便制造系統能夠在下一個生產周期內不發生故障［1］。針對此問題，有許多學者提出了不同的模型［2～4］。比如，Douer and Yechiali［5］以設備長期運行的期望成本最小化為目標函數，確定了單臺設備的最佳預防維修周期。胡飛［6］以期望長期成本率最低為決策依據，權衡預防維修所節省的成本開支和同時增加的維修費用，提出了一個定期預防維修策略，并給出了求解最優解的有效算法。但是根據系統中的機械情況，維護期可能需要不同的時間，而且維護時間過長會造成短缺，此時可在設備之間設置一個緩沖區，以實現生產系統高效運行。四十多年來，有許多的學者對帶緩沖區的生產系統維修優化模型進行了深入而廣泛的研究。比如，Wijngaard［7］首次考慮設備的緩沖區庫存，將設備狀態分為m+1 個階段，第0階段表示設備為全新，第m階段表示設備發生故障需要進行維修，并運用隨機模型研究設備的可靠性，評估緩沖區對生產系統產量的影響。2013 年 Bouslah 等［8］研究設備故障率高、產品缺陷率高、并帶有中間緩沖庫存的生產系統，如何確定出生產批量，并制定出產品質量控制策略。呂文元等［9］主要解決當設備發生故障造成停機時間較長的情況下，應該如何修正基本檢查模型并優化維修間隔期期間的決策問題。在當今激烈競爭的市場環境下，越來越多的制造企業以延長售后保修期限招攬更多顧客。保修期限策略能夠保證消費者在產品出現故障時得到經濟補償，廠商利用保修期限策略提高產品的銷售量，保修期限策略已經成為一種重要非價格的競爭手段［10］。Jack and Van der Duyn Schouten［11］從生產商的角度出發，研究了可維修產品在免費更換保修下的最優維修更換策略。

目前大多數研究都考慮的是設備維修和庫存控制的聯合優化，或者是就售后產品所進行的維修和更換方法。本文將會綜合考慮基于出售免費最小保修產品的生產系統的最優的緩沖區庫存量和預防性維護周期，通過降低生產準備費用、設備預防維修費用、產品最小維修費用、材料費用、勞務費用、能源費用、庫存費用及缺貨費用來降低每單位產品的成本。

2 基本假設和符號

帶緩沖區的設備由如圖1 所示的基本單元組成。Si為連接兩個設備Mi和Mi+1的緩沖區，設備Mi為緩沖區Si的上游設備，設備Mi+1為緩沖區Si的下游設備。設備Mi以速率p生產零件，而設備Mi+1以需求率α從緩沖區Si獲得零件，假設p＞α，即每一個單位時間內，緩沖區Si內的在制品將多(p-α)個零件。

圖1 基本單元

為更有效地描述模型，做如下基本假設和符號定義：

符號：K為生產準備費用；α為需求率；p為生產率；Cm為單位數量的產品所需的材料、勞動和能源費用；Co為單位時間的預防維修費用；Ch為單位時間內單位數量的產品的庫存費用；Cs為單位數量的產品的缺貨費用；Cr為單位數量的產品最小維修費用；T為每個循環的生產運行時間；S為緩沖庫存；w為保修期；t為預防性維護時間，這是一個隨機變量；φ(t)為t的概率密度函數。

假設：

1）需求率隨著時間的推移是確定性的和恒定的；

2）對產品采用免費的最小維修保修政策；

3）經過時間T后，庫存達到S，此時立即停止生產并進行預防性維修；

4）定期進行預防性維護，保證在生產運行期間（T）制造系統的故障概率為0；

5）在任何預防性維護開始時，緩沖區庫存為S，該庫存不會劣化；

6）如果預防維修結束后，庫存大于0，則中止生產，直至庫存降為0才開始生產；

7）如果在庫存降為0 時，預防性維護還沒有結束，則會發生缺貨，等到預防性維護結束則繼續開始生產。

3 模型的建立

在本文中，生產單元運行一段時間T之后發生預防性維護中斷。在[0 ，t]期間，緩沖區S以速率(p-α)建立［11～12］。這里，緩沖區S在 [0 ，t]期間累積以滿足需求率α。因此，S=(p-α)T，即生產運行時間T=S/(P-α)。

在時間T結束時，定期預防性維護開始并持續到t時刻。這個時間，t是隨機概率密度函數φ(t)的隨機變量。在維護期間，缺貨時間為

因此，每個預防性維護周期的缺貨數量為

缺貨數量的期望為

缺貨的期望費用為

保修期[0 ，w] 內單位數量的產品小修的平均次數為

所以，產品小修的平均費用為

庫存的期望費用為

生產準備費用為

材料、勞務與能源費用為

設備預防性維修的費用為

因此，一個生產周期內總費用期望為

一個生產周期內生產的產品的總數量為

所以，單位數量的產品總成本的期望為

將T=[S/(p-α)] 代入上式，可得

4 算例分析

p=600 ，Cr=300，Ch=15 ，Co=600 ，Cm=600 ，K=3000 ，Cs=39 ，α=450 ，w=2 ，φ(t)=用Matlab 帶入計算可得EU(S)，用diff 函數計算其二階導數，然后用maple可以判斷出他的二階導數永遠大于0。由此可知EU(S)是凸函數。因此，使EU(S)的一階導數為0的S*是最優庫存，EU(S*)是最小單位成本。最后求得的結果為：S*=588.43 ，T*=3.92 ，則EU(S*)=619.41。

5 靈敏度分析

可變因子的最優值隨著關鍵參數的變化（-50%，-25%，+25%，+50%）顯著變化（見表1）。在關鍵參數的靈敏度分析的基礎上，可以發現以下特征。

當保修期（w）增加時，緩沖區庫存（S）和生產運行時間（T）不變。保修期內的保修費用（Cr）和每單位產品的成本將會增加。

緩沖區庫存（S）和生產運行時間（T）對每單位產品的材料、勞動和能源費用（Cm）變化不敏感。因此，保修費用（Cr），短缺費用（Cs）和預防維修費用（Co）對此也不敏感，但材料、勞動和能源費用（Cm）增加，導致每單位產品的成本高于預期。

緩沖區庫存（S），生產運行時間（T），庫存費用（Ch），短缺費用（Cs）以及材料、勞動和能源費用（Cm）對每單位產品的保修費用（Cr）變化相當不敏感，（Cr）只是改變了保修費用。

單位時間內單位數量的產品的庫存費用（Ch）的提高能夠降低緩沖區庫存（S）和生產運行時間（T）。短缺費用（Cs）隨著緩沖區庫存，材料、勞動和能源費用（Cm）的減少而增加，由于生產率較低，保修期內的維修費用（Cr）也會降低。然而，單位產品的預期成本隨著庫存費用（Ch）的增加而增加。

由于短缺費用（Cs）較高，緩沖區庫存（S）和生產運行時間（T）較長，導致庫存費用（Ch）和材料、勞動和能源費用（Cm）上升。隨著更多產品的生產，更多的在保修期內出現問題的產品的維修費用（Cr）也會增加。

緩沖區庫存（S）和生產運行時間（T）隨著單位時間的預防維修費用（Co）的增加而增加，從而降低了短缺費用（Cs），以此可以彌補庫存費用（Ch）、保修期內的維修費用（Cr）以及材料、勞動和能源費用（Cm）的增加。由于大多數費用較高，所以每單位產品的預期費用會自動增加。

由于生產準備費用（K）提高，緩沖區庫存（S）和生產運行時間（T）通常會增加。因此，除了短缺費用（Cs）之外，所有費用都隨著生產量的增加而增加。故，單位產品的預期費用隨著生產準備費用（K）的增加而增加。

顯而易見，較高的生產率增加了庫存，同時也減少了生產運行時間（T），使材料、勞動和能源費用（Cm）及保修期內的維修費用（Cr）減少。更大的生產量會導致更高的庫存費用（Ch），同時由于緩沖區庫存量（S）的增加而降低了短缺費用（Cs）。因為大部分費用較高，故每單位產品的預期費用隨著生產率的增加而增加。

表1 關鍵參數的靈敏度分析

6 結語

在如今競爭激烈的環境下許多企業為了吸引更多的客戶，很多產品售出后都會有一個保修，給購買者提供產品早期故障保護，同時能夠提升廠家的信譽，維護企業形象［14］。在產品生產期間，一般來說，預防性維修是一種常規檢查，可以提高生產系統的可靠性［15］。而在維護期間，緩沖區庫存對于最大限度地減少經濟損失至關重要。本文通過考慮一個完美的生產系統中，緩沖區庫存和預防性維護對生產帶來的影響，建立了包括生產準備費用、庫存費用、缺貨費用、材料勞務能源費用、預防性維修費用以及保修期內的產品維修費用，并進行求解。數值仿真結果表明，利用本文的維護決策模型能有效地對設置保修期的制造系統中的設備，確定最佳緩沖區庫存與最優生產運行時間。