具有分布時滯的廣義系統(tǒng)的容許性條件

孫 欣, 白雅迪

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

廣義系統(tǒng)又稱為奇異系統(tǒng),是實際系統(tǒng)的一種客觀表示,常見于電力系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、航空航天系統(tǒng)、機械工程系統(tǒng)和經(jīng)濟系統(tǒng)等實際系統(tǒng)中。廣義系統(tǒng)可以用來表述系統(tǒng)的更多性能特征,和正常系統(tǒng)相比,它的應(yīng)用更為廣泛。1989年,Dai[1]出版廣義系統(tǒng)專著《Singular Control Systems》,首次采用狀態(tài)空間方法系統(tǒng)介紹廣義系統(tǒng)理論,為研究廣義系統(tǒng)理論提供了重要參考。

許多實際系統(tǒng)過去的狀態(tài)影響系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài),即系統(tǒng)的演化趨勢不僅與系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)有關(guān),而且也可能與過去狀態(tài)有關(guān)。具有時滯的系統(tǒng)稱為時滯系統(tǒng)。時滯是工程實際中普遍存在的現(xiàn)象,可能影響系統(tǒng)穩(wěn)定性、導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降,近年來關(guān)于時滯系統(tǒng)的研究很多。

若系統(tǒng)中的時滯為過去一段時間系統(tǒng)變量的積分,這樣的時滯稱為分布時滯。分布時滯系統(tǒng)模型常用于熱力學(xué)、生態(tài)學(xué)或流行病學(xué)。下面給出線性分布時滯系統(tǒng):

(1)

可以看出,分布時滯系統(tǒng)中的時滯具有在整個時滯區(qū)間的分散性影響。分布時滯能夠更精確地描述系統(tǒng),揭示事物變化的本質(zhì)。近年來,有關(guān)分布時滯系統(tǒng)的研究取得了一些進展。顧克勤[2]改進了構(gòu)造離散Lyapunov泛函的方法,在處理導(dǎo)數(shù)項時應(yīng)用Jensen不等式和變量消元法,得到分布時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。Zheng和Frank[3]研究了狀態(tài)變量中存在分布時滯的不確定線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒鎮(zhèn)定問題,給出了分布時滯系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定條件,所提出的方法應(yīng)用在了液體單推進劑火箭發(fā)動機燃燒室的穩(wěn)定性上。Cheng和Zheng[4]針對具有分布時滯的不確定中立系統(tǒng),研究了魯棒穩(wěn)定和鎮(zhèn)定問題,使用積分不等式技術(shù)和廣義系統(tǒng)方法,以線性矩陣不等式的形式給出魯棒穩(wěn)定時滯依賴條件和魯棒鎮(zhèn)定設(shè)計方法。

通常穩(wěn)定性作為系統(tǒng)控制的最基本要求。對于連續(xù)廣義系統(tǒng),在正則、無脈沖的前提下,系統(tǒng)具有穩(wěn)定性,從而系統(tǒng)是容許的。因此研究具有分布時滯廣義系統(tǒng)的容許性問題具有重要意義。對于時滯系統(tǒng),降低系統(tǒng)穩(wěn)定性條件的保守性至關(guān)重要。常用的方法是構(gòu)建一個合適的L-K泛函[5-6]。何勇等[7]添加一些時滯交叉項,提出了增廣L-K泛函,這些交叉項有助于減少時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件的保守性[8]。對于廣義時滯系統(tǒng)的容許性研究,構(gòu)建L-K泛函時,現(xiàn)有結(jié)果主要由非積分項、一重積分項和二重積分項組成[9-13]。為了進一步減小具有分布時滯的廣義系統(tǒng)容許性條件的保守性,可以構(gòu)造一個合適的增廣L-K泛函,并且在泛函中加入三重積分項,進一步降低結(jié)果的保守性。

在降低時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件的保守性方面,除了L-K泛函的構(gòu)造外,L-K泛函求導(dǎo)后產(chǎn)生的導(dǎo)數(shù)項的估計也至關(guān)重要。早期利用Park不等式、Moon不等式以及模型變換等來對L-K泛函的導(dǎo)數(shù)項進行處理。在此基礎(chǔ)上,吳敏等[14]提出了自由加權(quán)矩陣法,何勇等[15]對其進行了改進,自由加權(quán)矩陣法對于降低時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件的保守性起到了重要的作用。后來,Jensen不等式[16]被廣泛采用。2013年,Seurt等[17]基于傅里葉理論提出了一個新的Wirtinger不等式,獲得了使時滯系統(tǒng)穩(wěn)定更大的時滯上界。2015年,Seurt等[18]提出Bessel-Legendre不等式,它比Jensen不等式和Wirtinger不等式保守性小,可以得到時滯系統(tǒng)保守性更小的穩(wěn)定性條件。

本文利用Bessel-Legendre積分不等式對L-K泛函的導(dǎo)數(shù)項進行處理,推導(dǎo)出具有分布時滯的廣義系統(tǒng)保守性更小的容許性條件,與同類文獻相比本文采用的方法獲得了更大的時滯上界。

標(biāo)記說明

1 問題描述

考慮分布時滯廣義系統(tǒng)

(2)

式中:x(t)∈n是系統(tǒng)狀態(tài)向量;矩陣E∈n×n,且rank(E)=r≤n;A,Ad,AD∈n×n是已知的常數(shù)矩陣;h是滿足約束條件h>0的常數(shù)時滯;φ(t)是連續(xù)可容的向量值初始函數(shù)。

定義1[1]

1) 若det(sE-A)≠0,則稱矩陣對(E,A)是正則的;

2) 若degdet(sE-A)=rank(E),則稱矩陣對是無脈沖的;

3) 若det(sE-A)=0的根全部具有負實部,則稱矩陣對(E,A)是穩(wěn)定的;

4) 若矩陣對(E,A)是正則、無脈沖的、穩(wěn)定的,則稱矩陣對(E,A)為容許的。

定義2[1]

1) 若矩陣對(E,A)是正則、無脈沖的,則稱系統(tǒng)(2)是正則、無脈沖的;

3) 若系統(tǒng)(2)是正則、無脈沖、穩(wěn)定的,則稱為容許的。

引理1[1]如果矩陣對(E,A)是正則、無脈沖的,那么存在2個可逆矩陣G,H∈n×n,使得

(3)

引理2[18]對于矩陣R∈n×n,R>0,參數(shù)b>a,向量函數(shù)x:[a,b]→n,則以下不等式成立:

(4)

其中

其中

其中

2 主要結(jié)果

定理考慮分布時滯廣義系統(tǒng)(2)。對于參數(shù)h>0,若存在正定矩陣P=(Pij)∈4n×4n,Pij∈n×n,正定矩陣Q,R1,R2,M∈n×n, 任意矩陣W∈n×(n-r), 列滿秩矩陣L∈n×(n-r), 并且滿足ETL=0,滿足下面線性矩陣不等式:

其中

式子中ei∈n×5n,ei=[0n×(i-1)n,In,0n×(5-i)n],i=1,2,3,4,5。則分布時滯廣義系統(tǒng)(2)是容許的。

證明 首先,證明分布時滯廣義系統(tǒng)(2)是正則、無脈沖的。因為rank(E)=r

(8)

令

線性矩陣不等式(7)可以寫成

(12)

其中

#表示與接下來的討論無關(guān)的內(nèi)容。

根據(jù)式(12)得到

因為Q,R1,R2,M是正定矩陣,所以

式(14)分別左乘和右乘HT、H,得到

(15)

容易得到

(16)

所以A22是非奇異的。否則,假設(shè)A22是奇異的,存在非零向量φ∈n-r,使得A22φ=0。由合同變換,得到與式(16)相矛盾。所以A22是非奇異的。因此,矩陣對(E,A)是正則、無脈沖的。根據(jù)定義2,分布時滯廣義系統(tǒng)(2)也是正則、無脈沖的。因此存在另外2個非奇異矩陣n×n使得

(17)

令

又

(22)

(23)

不難看出系統(tǒng)(23)和系統(tǒng)(2)在穩(wěn)定性上是等價的。接下來證明系統(tǒng)(23)是穩(wěn)定的。

構(gòu)造如下增廣L-K泛函為

(24)

其中

對V(t)求導(dǎo),得到

定義

(29)

應(yīng)用引理2,可以得到

(33)

其中

(35)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理可知,系統(tǒng)(23)是穩(wěn)定的,所以系統(tǒng)(23)是容許的,所以分布時滯廣義系統(tǒng)(2)是容許的。從而定理結(jié)論成立,證畢。

注釋1 定理基于Lyapunov第二方法,利用Bessel-Legendre積分不等式,通過構(gòu)造適當(dāng)形式的L-K泛函,得到了新的分布時滯廣義系統(tǒng)容許性的判定條件。

注釋3 若rank(E)=r=n,這時分布時滯廣義系統(tǒng)(2)就變?yōu)榉植紩r滯系統(tǒng)(1):

由定理能得到分布時滯系統(tǒng)(1)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性的條件。

推論考慮分布時滯系統(tǒng)(1)。對于參數(shù)h>0,若存在正定矩陣P=(Pij)∈4n×4n,Pij∈n×n,正定矩陣Q,R1,R2,M∈n×n。滿足下面線性矩陣不等式:

其中

式子中ei∈n×5n,ei=[0n×(i-1)n,In,0n×(5-i)n],i=1,2,3,4,5。則分布時滯系統(tǒng)(1)是穩(wěn)定的。

3 數(shù)值算例

例1 考慮如下連續(xù)廣義分布時滯系統(tǒng):

其中

表1 系統(tǒng)允許最大時滯Table 1 The maximum allowable upper bounds of delay

當(dāng)AD為零矩陣時,例1即為文獻[24]中的數(shù)值算例。利用Matlab的LMI工具箱求解,表1分別列出文獻[12,22-24]及定理算出系統(tǒng)允許最大時滯hM。

從表1可以看出,與同類文獻相比,定理獲得了使得廣義分布時滯系統(tǒng)容許的更大時滯上界,說明定理具有較小的保守性。

例2 考慮如下分布時滯系統(tǒng):

其中

通過Matlab的LMI工具箱求解,得到系統(tǒng)允許最大時滯hM=2.778 4,說明所提出方法的有效性。

4 結(jié) 語

本文研究了分布時滯廣義系統(tǒng)的容許性問題。為了降低容許性條件的保守性,構(gòu)造了增廣的L-K泛函,引入了三重積分項;并且利用二階Bessel-Legendre不等式、三階Bessel-Legendre積分不等式和雙重二階Bessel-Legendre積分不等式來處理L-K泛函求導(dǎo)后的導(dǎo)數(shù)項;以線性矩陣不等式的形式給出了具有分布時滯的廣義系統(tǒng)的容許性條件。數(shù)值算例說明了本文所用方法的有效性和優(yōu)越性。