基于Heston模型和遺傳算法優化的鐵路貨運期權定價模型

馮芬玲，石昕

基于Heston模型和遺傳算法優化的鐵路貨運期權定價模型

馮芬玲，石昕

(中南大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410075)

結合經濟學理論，將期權理論引入貨運定價，針對煤炭和鋼鐵等大宗型貨物，運用Heston模型對鐵路貨運期權定價，設計改進型遺傳算法擬合實際市場期權價格和Heston模型的期權價格的差值，優化模型參數，建立基于Heston模型和遺傳算法優化的鐵路貨運期權定價模型，并運用上證50ETF買入期權數據對模型的參數進行優化，用廣州局貨運數據對算法進行驗證，計算結果證明了算法的合理性，為鐵路貨運定價提供新思路。

鐵路貨運；Heston模型；期權定價；遺傳算法

目前,貨物運輸市場競爭十分激烈，其中鐵路一直負擔著國民經濟大動脈的作用，然而在大宗型貨物運輸市場有明顯優勢的鐵路部門，近些年來的發展規模有逐步縮小的趨勢，鐵路貨物運輸競爭力不足。2014年至2016年，我國鐵路貨運量連續3年下滑，2016年全路貨運量33.32億t，相對于2015年下降0.8%，但在2018年，鐵路貨運量有了大幅提升達到40.30億t。為了順應運輸市場需求，促進鐵路貨運業務積極參與運輸市場競爭，自2013年以來，我國鐵路貨運運價改革逐步推進，如何科學理性地厘定合理的協議價格顯得具有廣泛的理論和實際意義。在鐵路貨運定價方法上的研究大致分為以成本為導向的定價方法和以需求為導向的定價方法2種。王哲[1]在對鐵路運輸企業成本定額指標體系法分類的基礎上，為鐵路運輸企業應用成本定額方面提出了相應的改善建議。Comi等[2]對鐵路運輸定價的研究表明各運輸需求主體的不同運輸消費心理對應不同運價，為以需求為導向的差異定價奠定了理論基礎。成本定價法考慮的重點是運輸耗費的補償，而需求導向定價更多以客戶需求角度考慮市場供需平衡，現有的鐵路貨運定價方法難以適應當下運輸定價要求，因此，結合鐵路運力供給市場和契約市場將期權理論引入鐵路貨運定價，為鐵路運輸企業提供合理的定價思路。目前關于期權定價方面學者的研究主要包括Black-Scholes期權定價模型、Stackelberg博弈模型、二叉樹法和Heston期權定價模型。Black等[3]提出了BS期權定價模型對標期權進行定價；Dempe等[4]提出基于雙層數學規劃的價格優化模型。二叉樹法最早由Cox等[5]提出，它用分叉的樹枝來描述股票和期權價格波動只有向上和向下2個方向。Heston模型是由Heston[6]提出的描述標的資產波動率變化的數學模型。Heston模型是一個隨機波動模型，這種模型假設資產收益率的波動率跟隨一個隨機過程來運動。Henderson等[7]利用Girsanov變換將P測度轉成Q測度進而分析Heston模型下的歐式期權定價問題。邱虹[8]借助Heston模型，通過矩匹配法和蒙特卡洛仿真法進行期權定價。在對Heston模型中的參數進行估計時，王林等[9]采用模擬退火算法并利用最小殘差平方和來估算模型中的待估參數。李斌等[10]利用遺傳算法能夠進行群體搜索的特點，對參數的估計進行組合優化。張麗娟等[11]采用Heston模型，通過神經網絡來擬合實際市場期權價格和Heston模型的期權價格的差值，并運用遺傳算法來優化整個神經網絡。已有的研究在Heston模型驗證中數據大多假設而來，缺乏一定現實性，Heston模型相較于其他期權定價模型優勢主要在于其假設波動率服從布朗運動，這更符合市場實際情況，且給出了閉式解。目前我國對鐵路貨運期權研究與應用較少，且在鐵路貨運期權定價方面，多采用BS定價模型、二叉樹法等，Heston模型相較于其他模型主更具有靈活性，更符合實際情況，且目前貨運期權交易大多憑借自身經驗，具備貨運期權交易的機構較少。本文借鑒金融領域的實物期權定價模式，引用Heston模型，設計改進型遺傳算法對模型中的參數進行優化，在實證研究中，結合我國權證市場的真實交易數據和貨運數據，對模型進行了驗證，為鐵路運輸企業在貨運定價方面提供參考。

1 鐵路貨運期權理論概述

期權，指一種合約，該合約賦予持有人在某一特定日期或該日之前的任何時間以約定的價格購進或售出一種資產的權利，該日期過后，合約失效。鐵路貨物運輸中運費的波動影響著鐵路企業、貨主等多方收益，為合理規避雙方所承擔的風險，根據金融領域中期權的概念，結合鐵路貨物運輸市場特點，可定義鐵路貨物運輸期權如下。

1.1 鐵路貨運期權的概念

本文提出的鐵路貨運期權是指以鐵路貨物運輸服務(貨物運輸運力)為標的資產的期權合約[12]，該合約賦予期權持有人(貨主)在約定的到期日以約定的價格購進標的資產的權利。鐵路運輸企業作為期權的出售方，貨主作為期權的買家，也就是合約持有人，享有履行合約的權利但不承擔相應的 義務。

1) 標的資產：指選擇購買或出售的資產，本文指貨主購買的鐵路貨物運輸服務，即貨運運力。

2) 期權價格：期權的銷售價格。

3) 期權執行價格：在期權合約中約定的、期權持有人據以購進標的資產的固定價格。

4) 到期日：期權合約中雙方約定的期權到期日，該日買家可根據現貨市場運價和期權執行價格來決定是否行使到期期權。

1.2 鐵路貨運期權交易流程

本文假設鐵路運輸企業和期權客戶均為理性經濟人，兩者都希望在運輸市場競爭和不確定條件下實現自身利益最大化。根據上述鐵路貨運期權定義，引入期權理論后，鐵路運輸企業需根據實際市場情況，制定合理的期權定價方案，而貨主作為期權的買家則需根據運輸企業公布的期權方案決定自身的購買方案，待期權到期后，根據市場價格，決定是否執行期權并支付執行費用。如圖1。

圖1 期權交易流程圖

2 Heston模型及模型參數的估計優化

期權中資產收益的波動率是一個動態過程，Heston模型假設資產收益率的波動率并不恒定，而是跟隨一個隨機過程來運動，彌補了BS期權定價模型中假設標的資產的波動率為常數的不足，這樣的假設更符合市場實際情況[13]。并且相較于其他隨機波動率模型，Heston模型更易處理且為閉式解。

2.1 Heston模型

1993年，Heston根據CIR利率模型，提出資產價格波動遵循如下規律的假設：

基于以上假設，可以得出＜時歐式看漲期權價格的閉式解：

這里：

其中：1=0.5，2=?0.5，和表示歐式標準期權的執行價格和到期日；表示年利率；表示波動率風險的市場價格。

2.2 模型參數的估計優化

1) 編碼及初始種群生成

2) 選擇

采用隨機遍歷抽樣，依照個體的適應度值計算每個個體在子代中出現的概率，并按照此概率隨機選擇個體構成子代種群。

3) 交叉與變異

交叉方式采用雙親雙子法，產生一個隨機位，交換該隨機位之后的所有基因，產生2個新的子代。變異方式采用實值種群變異。

4) 參數選擇(交叉概率、變異概率、種群規模)交叉率和變異概率的改進[14]：基于Sigmoid函數和高斯分布函數對交叉率和變異率進行改進，設計自適應非線性調整交叉率和變異率的調節公式。

交叉率和變異率調節公式具體如下：

式中：avg表示種群的平均個體適應度；min表示種群中最小的個體適應度；max表示種群中最大的個體適應度；′表示要交叉的2個個體中較大的適應度；1為曲線平滑參數，取0.990；2表示曲線高度參數，取0.3；cmax和cmin表示交叉概率的最大和最小值；mmax和mmin表示變異概率的最大最小值。

2.3 Heston模型期權定價的步驟

將本文所采用的研究方法進行梳理，歸納出通過Heston模型來進行期權定價的步驟如下。

1) Heston模型參數估計數據的選取

本文選取上證50ETF期權數據來對Heston模型參數進行優化，假設上證50ETF期權市場與鐵路貨運期權市場波動一致。由于目前鐵路貨運權證市場尚處于理論研究階段，未有真實期權價格數據，為了模型驗證嚴謹且具有現實意義，選取上證50ETF，其是中國大陸期權交易市場唯一期權產品，交易較為活躍，相較于國外以及香港等交易所數據，大陸期權交易市場的波動更為貼合大陸鐵路貨運期權市場，使研究更具可靠性。

此外，在期權市場交易中，影響期權價格因素除了行權價格、無風險利率和到期時間外還與波動率緊密相關，這里重點探討與期權價格波動關聯最為密切標的資產的波動率。Heston模型假設標的資產及方差波動率遵循布朗運動，在現代金融數學領域中，普遍假設證券期貨價格具有隨機性特征。本文所探討的鐵路貨運權證市場是證劵期貨市場的一種，假設鐵路貨運期權中標的資產及方差波動率也遵循布朗運動，其變化也是一個隨機過程，進而在實證研究中，選取證券交易市場真實期權數據對模型參數進行優化。

2) 貨運數據的處理

按照《鐵路貨物運輸品名分類與代碼表》對不同貨物品類分類，查詢相應到發站之間的里程，根據下式對查詢到的鐵路貨運數據進行處理，得到鐵路貨物運輸價格c：

3) 運用本文提出的改進型遺傳算法優化Heston模型中的5個參數。

4) 利用已求得的5個參數結合實際鐵路貨運數據，由式(17)計算得到的鐵路貨物運輸價格c，回代至Heston模型中求出鐵路貨運期權價格。

3 實證研究

選取上海證券交易所50ETF指數在2019年4月1日的歐式買入期權交易記錄為樣本，期權到期日分別為4月12日、5月24日和6月23日，在樣本的基礎上利用Matlab軟件編寫對應的遺傳算法程序，經計算得到Heston模型中的待估參數。

再分別以4月1日長沙北發往婁底東、株洲北和廣州東3個貨運站，煤球、礦石等大宗型貨物運輸期權為例，假設期權合約有效期限為1個月，利用相關運輸數據和已得到的待估參數，對鐵路貨運期權進行預測定價。

3.1 樣本數據

2019年4月1日上證股指收盤價是2.906，無風險利率選取1年期中債國債收益率是0.026 902[15]。樣本數據見表1。

表1 上證50ETF買入期權樣本數據

3.2 實證分析

3.2.1 參數估計結果與分析

針對2019年4月1日買入期權的樣本，遺傳算法上設定進化代數為350初始種群規模為80，得到估計的參數為：[V,,,,]=[0.070 37, 6.479 641, 0.068 934, 0.448 885, 0.393 213]，此時適應度最優值為1.75×10?5。圖2為進化過程中種群各代最優適應度值變化趨勢。

圖2 種群最優個體適應度趨勢

從圖2可以看出，由于本文分別對交叉概率和變異概率按個體適應度以Sigmoid函數曲線和高斯分布曲線形式進行了優化，在進化初期種群最優適應度值震蕩較為劇烈，但在50代之后各代最佳個體適應度值呈現嚴格的遞減趨勢，避免了迭代過程中算法收斂速度變慢和局部最優的可能。

在遺傳算法運算100次之前，最佳個體適應度值收斂得非常快，尤其在運算50次之前，種群最優適應度值的波動劇烈，達到100次左右時，種群最優適應度值的波動愈來愈小，并且呈現遞減的趨勢，在100~300次運算最佳個體適應度值仍呈現收斂的趨勢，最終在350次運算后最佳個體適應度值穩定在1.75×10?5，從種群層面看具有收斂性。從圖2可以看到，算法經常跳出局部極小值，這說明本文采用的改進型遺傳算法求得的Heston模型中的5個待估參數，隨著迭代次數的增加越來越優，體現了本文算法的尋優性。

3.2.2 期權定價結果

把上文采用遺傳算法運算所得到的Heston模型參數，結合收集到的鐵路貨運數據應用于期權定價中。由于貨運品類多樣化，按照貨物品類來設計多種期權不符合實際，在真實權證市場中，也是按照大類劃分，因此實例分析中參考真實權證市場將各品類貨物按類別劃分定價。

表2 大宗型貨物運輸價格樣本數據

表2收集了2019年4月1日，7種類別，3個到站的鐵路貨運整車價格運輸數據，由于廣州東和株洲北站為特等站，婁底東為3等站，分別對其賦予權重0.4，0.4和0.2，據式(17)計算出相應類別貨物運輸價格，假設期權到期時間為1個月，利用Heston模型對期權定價結果如表3。

經模型運算得出對應種類貨物期權價格，期權客戶通過購買此看漲期權，獲取在未來1個月時間內以約定的價格購買一定運力的權限，運輸企業必須提供相應運力。同樣貨主也可根據市場價格情況選擇放棄執行期權，但會損失已付出的期權費用，運輸企業失去客源但獲得了相應的期權購買收入，在一定程度上彌補了損失，且在貨主放棄行使期權時，運輸企業有足夠時間更新銷售計劃安排剩余運力。

表3 Heston模型期權定價結果

與表2中鐵路貨物運輸價格相較，貨主只需付出較少的期權費用即可獲得運力保證，鐵路運輸企業也可獲得相應期權收益，這是雙方受益的一種定價方式。從模型算法上看，本文采用改進型遺傳算法來估計Heston模型參數，解決了Heston模型閉式解形式比較復雜，參變量多的特點，在一定程度上提升了算法的尋優性。從實證結果上看，基于上證期權交易數據，對模型參數進行估計，結合實際貨運數據應用到期權定價中去，證明Heston模型對鐵路貨運定價是有效、可行的。

目前我國鐵路運輸市場中，鐵路運輸企業與貨主簽訂提前運輸協議來銷售一部分運力，此類運輸協議的簽訂對于交易穩定性較差的現貨市場在穩定貨源及運力方面有一定優勢，一方面為運輸企業提供穩定大宗貨源，另一方面為貨主提供穩定運力，也有效避免了由于鐵路貨運價格市場的波動為雙方帶來的損失。在運輸企業與貨主之間，引入期權金融工具，是實現鐵路公司與客戶實現雙贏的方式，我國應制定靈活定價策略，科學管控期權等金融衍生品風險，豐富與完善鐵路貨運定價體系，提高鐵路運輸效率，提升鐵路競爭力。

4 結論

1) 運用金融工程等學科知識構建基于Heston模型的鐵路貨運期權定價模型，研究所設計鐵路貨運期權的最優定價決策。結果表明，Heston模型可用于對鐵路貨運權證市場進行分析；在優化模型參數上，所設計的改進型遺傳算法無論在收斂速度還是穩定性上都有較為明顯的提升；用我國權證市場的真實交易數據和鐵路貨運市場數據對Heston模型的實證，也檢驗了模型的可行性和有效性。

2) 本文提出的改進型遺傳算法有效把握了總體的進化方向，同時按個體適應度使用Sigmoid函數和高斯函數自適應的調整交叉概率和變異概率，實驗結果表明改進的遺傳算法無論在收斂速度還是穩定性上都有較為明顯的提升。

3) 研究成果可對鐵路運輸企業在鐵路貨運市場化運營過程中的運價改革提供參考依據，但我國目前在鐵路貨運期權方面尚處于理論研究階段，本文研究側重于期權價格的確定，今后可針對期權執行價格和購買數量等進行更加詳細、深入的研究。

[1] 王哲. 鐵路運輸企業成本定額指標體系應用困境及對策研究[D]. 北京: 北京交通大學, 2014. WANG Zhe. Research on the problem and the countermeasures of railway transport enterprise cost quota index system[D]. Beijing: Beijing Jiaotong University, 2014.

[2] Comi A, Coppola P, Nuzzolo A. Freight transport modeling: Review and future challenges[J]. Rivista Internazionale di Economia dei Transporti/International Journal of Transport Economics, 2013, XL(2):151?181.

[3] Black F, Scholes M. The effects of dividend yield and dividend policy on common stock prices and returns[J]. Journal of Financial Economics, 1974, 1(1): 1?22.

[4] Dempe S, Bard J F. Bundle trust-region algorithm for bilinear bilevel programming[J]. Journal of Optimization Theory & Applications, 2001, 110(2): 265?288.

[5] Cox J, Ross S, Rubinstein M, et al. Option pricing: A simplified approach[J]. Journal of Financial Economics, 1979, 7(3): 229?263.

[6] Heston S L. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options[J]. Review of Financial Studies, 1993, 6(2): 327?343.

[7] Henderson V, Hobson D, Howison S, et al. A comparison of option prices under different pricing measures in a stochastic volatility model with correlation[J]. Review of Derivatives Research, 2005, 8(1): 5?25.

[8] 邱虹. 基于Heston模型的能源商品定價機制研究[J]. 南華大學學報(社會科學版), 2018, 19(1): 82?87. QIU Hong. Research on energy commodity pricing mechanism based on Heston model[J]. Journal of University of South China (Science and Technology), 2018, 19(1): 82?87.

[9] 王林，張蕾，劉連峰.用模擬退火算法尋找Heston期權定價模型參數[J]. 數量經濟技術經濟研究, 2011(9): 131?139. WANG Lin, ZHANG Lei, LIU Lianfeng. Calibration of Heston’s option pricing model by using simulated annealing algorithm[J]. The Journal of Quantitative & Technical Economics J Quant Tech Econ, 2011(9): 131? 139.

[10] 李斌, 何萬里. 一種尋找Heston期權定價模型參數的新方法[J]. 數量經濟技術經濟研究, 2015(3): 129?146. LI Bin, HE Wanli. A new method of finding the parameteters of Heston’s option pricing model[J]. The Journal of Quantitative & Technical Economics J Quant Tech Econ, 2015(3): 129?146.

[11] 張麗娟, 張文勇. 基于Heston模型和遺傳算法優化的混合神經網絡期權定價研究[J]. 管理工程學報, 2018, 32(3): 142?149. ZHANG Lijuan, ZHANG Wenyong. Option pricing model by applying hybrid neural network based on Heston model and genetic algorithm[J]. Journal of Industrial Engineering/Engineering Management, 2018, 32(3): 142?149.

[12] 馮芬玲, 李菲菲. 基于期權理論的鐵路貨運定價模型[J]. 鐵道科學與工程學報, 2012, 9(2): 72?78. FENG Fenling, LI Feifei. Pricing model of railway cargo transport based on option theory[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2012, 9(2): 72?78.

[13] 白薇. 擬蒙特卡洛方法下Heston模型的離散化[D]. 北京: 清華大學, 2015. BAI Wei. Discretizations of Heston model under Quasi- Monte Carlo method[D]. Beijing: Tsinghua University, 2015.

[14] 王嶸冰, 徐紅艷, 郭軍. 自適應的非支配排序遺傳算法[J]. 控制與決策, 2018, 33(12): 82?87. WANG Rongbing, XU Hongyan, GUO Jun. Adaptive non-dominated sorting genetic algorithm[J]. Control and Decision, 2018, 33(12): 82?87.

[15] 陳紫薇. 基于Heston隨機波動模型的上證50ETF期權定價與對沖研究[D]. 大連: 大連理工大學, 2016. CHEN Ziwei. Research of pricing and hedging of the SSE 50ETF option based on Heston stochastic volatility model[D]. Dalian: Dalian University of Technology, 2016.

Option pricing model by railway cargo transport based on Heston model and genetic algorithm

FENG Fenling, SHI Xin

(School of Traffic and Transportation Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

With the increasingly fierce competition in the railway freight market, it is urgent to construct a freight pricing method that will help improve railway transportation efficiency and market competitiveness. This paper combined economic theory and introduced the concept of option theory into freight pricing. For large-scale cargo such as coal and steel, Heston model was used to price railway freight options, and then used improved genetic algorithm to fit the market option price and the option price of the Heston model. The option pricing model was constructed based on Heston model and genetic algorithm, using the SSE 50ETF buy option and the Guangzhou Railway Group freight data to verify the algorithm. The calculation results prove the rationality of the algorithm, and the algorithm provides a new idea for railway freight pricing.

railway freight transport; Heston model; option pricing; genetic algorithm

U2-9

A

1672 ? 7029(2020)05 ? 1295 ? 07

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20190858

2019?09?25

國家社會科學基金資助項目(18BJY169)

馮芬玲(1973?)，女，河北邯鄲人，教授，博士，從事鐵路貨物運輸、運輸市場營銷研究；E?mail：ffl0731@163.com

(編輯 陽麗霞)