分割區間來解題 也是一種好方法

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

題1(2010年高考福建卷理科第15題)已知定義域為(0,+)的函數f(x)滿足：(1)對任意x∈(0,+)，恒有f(2x)=2f(x)成立；(2)當x∈(1,2]時，f(x)=2-x.給出如下結論：

①對任意m∈Z，有f(2m)=0；

②函數f(x)的值域為[0,+)；

③存在n∈Z，使得f(2n+1)=9；

④“函數f(x)在區間(a,b)上單調遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得(a,b)?(2k,2k+1)”.

其中所有正確結論的序號是.(答案：①②④)

解可把區間(0,+)分割成：(0,+)

即f(x)=2k+1-x(x∈(2k,2k+1](k∈Z)).

這就是函數f(x)在(0,+)上的解析式(是分段函數的形式).

下面由此解析式來判斷所給選項哪些是正確的.

在解析式中選x=2k+1(k=m-1,m∈Z)，立得選項①正確.

在解析式中選k=n(n∈Z)后可令x=2n+1，得f(2n+1)=2n-1.若f(2n+1)=9，得n=log210，這與n∈Z矛盾！所以選項③錯誤.

由求得的解析式知，選項④正確.

題1的變式1已知定義域為(0,+)的函數f(x)滿足：(1)對任意x∈(0,+)，恒有f(ax)=af(x)(a>1,a是常數)成立；(2)當x∈(1,a]時，f(x)=φ(x)(當x∈(1,a]時，φ(x)是已知的函數).請求出函數f(x)的解析式.

解可把區間(0,+)分割成：(0,+)

這就是此時函數f(x)在(0,+)上的解析式(是分段函數的形式).

題1的變式2已知定義域為(0,+)的函數f(x)滿足：(1)對任意x∈(0,+)，恒有f(bx)=bf(x)(0

(2)猜測數列{an}是否有極限？如果有，寫出極限的值(不必證明)；

此題顯然是以高等數學中的調和級數為背景的，出題者為了降低這道壓軸題的難度而給出了題目開頭的那個已知不等式.下面來證明這個不等式：

全體正整數集N*可分割成

N*=[20,21)Z∪[21,22)Z∪…∪[2k,2k+1)Z∪…

這里[2k,2k+1)Z(k∈N)表示區間[2k,2k+1)中的整數組成的集合.

分割區間來解題，也是一種好方法！

題3(2019年高考全國卷Ⅱ理科第12題)設函數f(x)的定義域為R，滿足f(x+1)=2f(x)，且當x∈(0,1]時，f(x)=x(x-1).若對任意x∈(-,m]，都有則m的取值范圍是( ).

(2)當x∈(n,n+1](n∈N*,n≥2)時，x-n∈(0,1]，所以f(x)=2f(x-1)=22f(x-2)=…=2nf(x-n)=2n(x-n)(x-n-1),f(x)∈[-2n-2,0].

證明分割區間(6,+)=(6,7]∪(7,8]∪…∪(n,n+1]∪….

題5 證明不等式：2x>x(x∈R).

證法1 分割區間R=(-,0)∪[0,1)∪[1,2)∪[21,22)∪[22,23)∪…∪[2n,2n+1)∪….

當x∈(-,0)時，2x>0>x.

當x∈[0,1)時，2x≥20=1>x.

當x∈[1,2)時，2x≥21=2>x.

綜上所述，可得欲證結論成立.

進而可得：函數f(x)在(-,x0],[x0,+)上分別是減函數、增函數，所以因為由2e>4>e，可得eln2>1,ln(eln2)>0),因而f(x)>0,2x>x(x∈R).